${\displaystyle {\sin }^2\omega t}$ のラプラス変換

${\displaystyle \mathcal{L}\left\{{\sin }^2\omega t\right\}=\frac{2{\omega }^2}{s\left(s^2+4{\omega }^2\right)}}$

ただし， ${\displaystyle \mathrm{Re}s>0}$ とする．

■証明

半角の公式を用いると

${\displaystyle \mathcal{L}\left\{{\sin }^2\omega t\right\}=\mathcal{L}\left\{\frac{1}{2}\left(1-\cos 2\omega t\right)\right\}}$

ラプラス変換の線形性 ${\displaystyle \mathcal{L}\left\{af\left(t\right)\right\}=a\mathcal{L}\left\{f\left(t\right)\right\}}$ より

${\displaystyle =\frac{1}{2}\mathcal{L}\left\{1-\cos 2\omega t\right\}}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}\left[\mathcal{L}\left\{1\right\}-\mathcal{L}\left\{\cos 2\omega t\right\}\right]}$   ･･････(1)

が得られる．

ここで

${\displaystyle \mathcal{L}\left\{1\right\}=\frac{1}{s}}$   ･･････(2)

${\displaystyle \mathcal{L}\left\{\cos \omega t\right\}=\frac{s}{s^2+{\omega }^2}}$ より

${\displaystyle \mathcal{L}\left\{\cos 2\omega t\right\}=\frac{s}{s^2+{\left(2\omega \right)}^2}}$ ${\displaystyle =\frac{s}{s^2+4{\omega }^2}}$   ･･････(3)

(2)，(3)を(1)に代入すると ${\displaystyle F\left(s\right)}$ は

${\displaystyle \mathcal{L}\left\{{\sin }^2\omega t\right\}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{s}-\frac{s}{s^2+4{\omega }^2}\right)}$ ${\displaystyle =\frac{1}{2}\cdot \frac{s^2+4{\omega }^2-s^2}{s\left(s^2+4{\omega }^2\right)}}$ ${\displaystyle =\frac{2{\omega }^2}{s\left(s^2+4{\omega }^2\right)}}$

となり，証明された．

 

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　最終更新日： 2026年7月28日