tのラプラス変換

${\displaystyle \mathcal{L}\left\{t\right\}=\frac{1}{s^2}}$

ただし， ${\displaystyle \mathrm{Re}s>0}$ とする．

■証明

${\displaystyle \mathcal{L}\left\{f\left(t\right)\right\}=\mathcal{L}\left\{t\right\}}$

ラプラス変換の定義より

${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_0^{\infty }t{e}^{-st}dt}}$

部分積分法を使って計算を進める．

${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_0^{\infty }t{\left(-\frac{1}{s}{e}^{-st}\right)}^{\prime }dt}}$

${\displaystyle ={\left[t\left(-\frac{1}{s}{e}^{-st}\right)\right]}_0^{\infty }-{\displaystyle {\int }_0^{\infty }\left(-\frac{1}{s}{e}^{-st}\right)dt}}$

${\displaystyle =0-0+\frac{1}{s}{\displaystyle {\int }_0^{\infty }{e}^{-st}dt}}$

${\displaystyle =\frac{1}{s}{\left[-\frac{1}{s}{e}^{-st}\right]}_0^{\infty }}$

${\displaystyle =\frac{1}{s}\left\{0-\left(-\frac{1}{s}\right)\right\}}$

${\displaystyle =\frac{1}{s^2}}$

 

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　最終更新日： 2026年9月25日