${\displaystyle t^n}$ のラプラス変換

${\displaystyle \mathcal{L}\left\{t^n\right\}=\frac{n!}{s^{n+1}}}$

ただし， ${\displaystyle \mathrm{Re}s>0}$ ，$n$は自然数 とする．

■証明

${\displaystyle \mathcal{L}\left\{f\left(t\right)\right\}=\mathcal{L}\left\{t^n\right\}}$

ラプラス変換の定義より

${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_0^{\infty }{t}^n{e}^{-st}dt}}$

部分積分法を使って計算を進める．

${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_0^{\infty }{t}^n{\left(-\frac{1}{s}{e}^{-st}\right)}^{\prime }dt}}$

${\displaystyle =0-0+\frac{n}{s}{\displaystyle {\int }_0^{\infty }{t}^{n-1}{e}^{-st}dt}}$

同様に部分積分法を使って計算を進める．

${\displaystyle =\frac{n\left(n-1\right)}{s^2}{\displaystyle {\int }_0^{\infty }{t}^{n-2}{e}^{-st}dt}}$

同様に部分積分法を繰り返す．

･･･

${\displaystyle =\frac{n!}{s^n}{\displaystyle {\int }_0^{\infty }{e}^{-st}dt}}$

${\displaystyle =\frac{n!}{s^n}{\left[-\frac{1}{s}{e}^{-st}\right]}_0^{\infty }}$

${\displaystyle =\frac{n!}{s^n}\left\{0-\left(-\frac{1}{s}\right)\right\}}$

${\displaystyle =\frac{n!}{s^{n+1}}}$

 

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　最終更新日： 2026年7月24日