L e − a t sin ω t = ω s + a 2 + ω 2
ただし， Re s + a > 0 とする．
L f t = L e − a t sin ω t
ラプラス変換の定義より
= ∫ 0 ∞ e − a t sin ω t e − s t d t
= ∫ 0 ∞ e − s + a t sin ω t d t
部分積分法を使って計算を進める．
= ∫ 0 ∞ e − s + a t − 1 ω cos ω t ′ d t
= e − s + a t − 1 ω cos ω t 0 ∞ − ∫ 0 ∞ − s + a e − s + a t − 1 ω cos ω t d t
= 0 − − 1 ω − s + a ω ∫ 0 ∞ e − s + a t cos ω t d t
= 1 ω − s + a ω ∫ 0 ∞ e − s + a t 1 ω sin ω t ′ d t
= 1 ω − s + a ω e − s + a t 1 ω sin ω t 0 ∞ − ∫ 0 ∞ − s + a e − s + a t 1 ω sin ω t d t
= 1 ω − s + a ω 0 − 0 + s + a ω ∫ 0 ∞ e − s + a t sin ω t d t
= 1 ω − s + a 2 ω 2 ∫ 0 ∞ e − s + a t sin ω t d t
式を整理すると
∫ 0 ∞ e − s + a t sin ω t d t = 1 ω − s + a 2 ω 2 ∫ 0 ∞ e − s + a t sin ω t d t
s + a 2 ω 2 + 1 ∫ 0 ∞ e − s + a t sin ω t d t = 1 ω
s + a 2 + ω 2 ω 2 ∫ 0 ∞ e − s + a t sin ω t d t = 1 ω
∫ 0 ∞ e − s + a t sin ω t d t = ω s + a 2 + ω 2
となる．
以上より
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最終更新日： 2026年7月24日