${\displaystyle t{e}^{-at}\cos \omega t}$ のラプラス変換

${\displaystyle \mathcal{L}\left\{t{e}^{-at}\cos \omega t\right\}}$ ${\displaystyle =\frac{{\left(s+a\right)}^2-{\omega }^2}{{\left[{\left(s+a\right)}^2+{\omega }^2\right]}^2}}$

ただし， ${\displaystyle \mathrm{Re}\left(s+a\right)>0}$ とする．

■証明

微分則の(2)より

${\displaystyle \mathcal{L}\left\{-tf\left(t\right)\right\}=\frac{dF\left(s\right)}{ds}}$

ラプラス変換の線形性 ${\displaystyle \mathcal{L}\left\{af\left(t\right)\right\}=a\mathcal{L}\left\{f\left(t\right)\right\}}$ より

${\displaystyle -\mathcal{L}\left\{tf\left(t\right)\right\}=\frac{dF\left(s\right)}{ds}}$

よって

${\displaystyle \mathcal{L}\left\{tf\left(t\right)\right\}=-\frac{dF\left(s\right)}{ds}}$   ･･････(1)

が得られる．

${\displaystyle f\left(t\right)=e^{-at}\cos \omega t}$   ･･････(2)

とおいて，(1)を適用する．

${\displaystyle \mathcal{L}\left\{f\left(t\right)\right\}=\mathcal{L}\left\{e^{-at}\cos \omega t\right\}}$ ${\displaystyle =\frac{s+a}{{\left(s+a\right)}^2+{\omega }^2}}$  (ここを参照)

より，(1)の ${\displaystyle F\left(s\right)}$ は

${\displaystyle F\left(s\right)=\frac{s+a}{{\left(s+a\right)}^2+{\omega }^2}}$   ･･････(3)

となる．

(1)に(2)，(3)を代入して微分の計算をすると

${\displaystyle \mathcal{L}\left\{t{e}^{-at}\cos \omega t\right\}}$ ${\displaystyle =-\frac{d}{ds}\frac{s+a}{{\left(s+a\right)}^2+{\omega }^2}}$

${\displaystyle =-\frac{{\left(s+a\right)}^{\prime }\left\{{\left(s+a\right)}^2+{\omega }^2\right\}-\left(s+a\right){\left\{{\left(s+a\right)}^2+{\omega }^2\right\}}^{\prime }}{{\left[{\left(s+a\right)}^2+{\omega }^2\right]}^2}}$

${\displaystyle =-\frac{1\left\{{\left(s+a\right)}^2+{\omega }^2\right\}-\left(s+a\right)2\left(s+a\right)}{{\left[{\left(s+a\right)}^2+{\omega }^2\right]}^2}}$

${\displaystyle =\frac{{\left(s+a\right)}^2-{\omega }^2}{{\left[{\left(s+a\right)}^2+{\omega }^2\right]}^2}}$

となり，証明された．

 

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　最終更新日： 2026年7月28日