媒介変数表示における導関数

${\displaystyle x=f\left(t\right)}$ ， ${\displaystyle y=g\left(t\right)}$ と媒介変数で表すことのできる ${\displaystyle x}$ の関数 ${\displaystyle y}$ がある．このときの， ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$ は

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}}$

となる．

■導出

${\displaystyle x=f\left(t\right)}$ を t に関して解いて ${\displaystyle t=r\left(x\right)}$ が得られたとする．すると， ${\displaystyle y=g\left(r\left(x\right)\right)}$ と表すことができる．

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{g\left(r\left(x+h\right)\right)-g\left(r\left(x\right)\right)}{h}}$

ここで， ${\displaystyle h=\Delta x=f\left(t+j\right)-f\left(t\right)}$   （ ${\displaystyle j=\Delta t}$ ） である．

${\displaystyle =\underset{h\to 0}{lim}\{\frac{g\left(r\left(x+h\right)\right)-g\left(r\left(x\right)\right)}{r\left(x+h\right)-r\left(x\right)}}$ ${\displaystyle ·\frac{r\left(x+h\right)-r\left(x\right)}{h}\}}$

ここで， ${\displaystyle r\left(x+h\right)-r\left(x\right)=j}$ とおくと， ${\displaystyle r\left(x+h\right)=r\left(x\right)+j=t+j}$ となる．また， ${\displaystyle h\to 0}$ ならば ${\displaystyle j\to 0}$ となる． よって，

${\displaystyle =\underset{j\to 0}{lim}\{\frac{g\left(t+j\right)-g\left(t\right)}{j}}$ ${\displaystyle ·\frac{j}{f\left(t+j\right)-f\left(t\right)}\}}$

${\displaystyle =\left\{\underset{j\to 0}{lim}\frac{g\left(t+j\right)-g\left(t\right)}{j}\right\}}$ ${\displaystyle ·\left\{\underset{j\to 0}{lim}\frac{1}{\frac{f\left(t+j\right)-f\left(t\right)}{j}}\right\}}$

${\displaystyle =\frac{g^{\prime }\left(t\right)}{f^{\prime }\left(t\right)}}$

微分に関する基本式を参照

${\displaystyle =\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}}$

●グラフを用いた媒介変数表示における導関数の説明

${\displaystyle x=f\left(t\right)}$

${\displaystyle y=g\left(t\right)}$

${\displaystyle \Delta x=f\left(t+\Delta t\right)-f\left(t\right)}$ ， ${\displaystyle \Delta y=g\left(t+\Delta t\right)-g\left(t\right)}$ とする．

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}}$

${\displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x}}$ の分母，分子を ${\displaystyle \Delta t}$ で割ると

${\displaystyle =\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\frac{\Delta y}{\Delta t}}{\frac{\Delta x}{\Delta t}}}$

${\displaystyle \Delta x\to 0}$ のとき ${\displaystyle \Delta t\to 0}$ となる．

よって

${\displaystyle =\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{\frac{\Delta y}{\Delta t}}{\frac{\Delta x}{\Delta t}}}$ ${\displaystyle =\frac{\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta t}}{\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{\Delta x}{\Delta t}}}$ ${\displaystyle =\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}}$

まとめると

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}}$

となる．

　

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最終更新日 2025年4月27日