微分演算子

関数${\displaystyle y=f\left(x\right)}$ の導関数を "  や ${\displaystyle \frac{d}{dx}}$ を用いて

${\displaystyle y^{\prime }}$， ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$， ${\displaystyle f^{\prime }\left(x\right)}$， ${\displaystyle \frac{d}{dx}f\left(x\right)}$

と表してきた．

上記方法以外に記号${\displaystyle D}$ を用いて

${\displaystyle Dy}$， ${\displaystyle Df\left(x\right)}$

と表す方法がある．この記号 ${\displaystyle D}$ を微分演算子という．

${\displaystyle D}$ は「微分する」Differentiateから由来している．

${\displaystyle D}$の使い方

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}y=Dy}$

${\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{d}{dx}\left\{\frac{d}{dx}y\right\}=DDy=D^{2}y}$

${\displaystyle \frac{d^{3}y}{d{x}^3}=\frac{d}{dx}\left\{\frac{d}{dx}\left(\frac{d}{dx}y\right)\right\}=DDDy}$${\displaystyle =D^{3}y}$

${\displaystyle C_1{y}^{\prime }+C_{0}y}$

${\displaystyle =C_{1}Dy+C_{0}y}$

${\displaystyle =\left(C_{1}D+C_0\right)y}$

${\displaystyle C_2{y}^{″}+C_1{y}^{\prime }+C_{0}y}$

${\displaystyle =C_2{D}^{2}y+C_{1}Dy+C_{0}y}$

${\displaystyle =(C_2{D}^2+C_{1}D+C_0)y}$

と表されるとする．${\displaystyle C_{1}D+C_0}$ および ${\displaystyle C_2{D}^2+C_{1}D+C_0}$ も微分演算子という．

また，多項式 ${\displaystyle f\left(x\right)=x^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+a_{n-2}{x}^{n-2}+}$ ${\displaystyle \cdots +a_2{x}^2+a_{1}x+a_0}$ の ${\displaystyle x}$ を微分演算子 ${\displaystyle D}$ で置き換えた ${\displaystyle f\left(D\right)}$ も微分演算子という．

具体的には

${\displaystyle f(D)y=(D^n+a_{n-1}{D}^{n-1}+\cdots +a_2{D}^2}$${\displaystyle +a_{1}D+a_0)y}$

${\displaystyle =D^{n}y+a_{n-1}{D}^{n-1}y+\cdots +a_2{D}^{2}y}$${\displaystyle +a_{1}Dy+a_{0}y}$

${\displaystyle =\frac{d^{n}y}{d{x}^n}+a_{n-1}\frac{d^{n-1}y}{d{x}^{n-1}}+\cdots +a_2\frac{d^{2}y}{d{x}^2}}$${\displaystyle +a_1\frac{dy}{dx}+a_{0}y}$

のことである．

 

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最終更新日： 2024年10月7日