公式の証明

公式の証明

f( D )[ e αx y ]= e αx f( D+α )y

■証明 

D[ e αx y ]=( D e αx )y+ e αx Dy

=α e αx y+ e αx Dy

= e αx ( D+α )y

D 2 [ e αx y ]=D[ D[ e αx y ] ]

=D[ e αx ( D+α )y ]

=( D e αx )( D+α )y+ e αx D( D+α )y

=α e αx ( D+α )y+ e αx D( D+α )y

= e αx { α( D+α )y+D( D+α )y }

= e αx ( α+D )( D+α )y

= e αx ( D+α ) 2 y

D n [ e αx y ]= e αx ( D+α ) n y

が成り立つ.

一般的に

f( D )= D n + a n1 D n1 ++ a 2 D 2 + a 1 D+ a 0

と表わすことができる.

f( D ) e αx y=( D n + a n1 D n1 ++ a 2 D 2 + a 1 D+ a 0 ) e αx y

= D n e αx y+ a n1 D n1 e αx y++ a 2 D 2 e αx y+ a 1 D e αx y+ a 0 e αx y

= e αx ( D+α ) n y+ a n1 e αx ( D+α ) n1 y++ a 2 e αx ( D+α ) 2 y+ a 1 e αx ( D+α )y+ a 0 e αx y

= e αx { ( D+α ) n y+ a n1 ( D+α ) n1 y++ a 2 ( D+α ) 2 y+ a 1 ( D+α )y+ a 0 y }

= e αx { ( D+α ) n + a n1 ( D+α ) n1 ++ a 2 ( D+α ) 2 + a 1 ( D+α )+ a 0 }y

= e αx f( D+α )y

となる.よって

f( D ) e αx y= e αx f( D+α )y

が成り立つ.

 

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最終更新日: 2023年6月8日