微分演算子の差

${\displaystyle f\left(D\right)}$ ， ${\displaystyle g\left(D\right)}$ は微分演算子とする．

関数 ${\displaystyle y}$ に対して ${\displaystyle f\left(D\right)}$ で表される手続きをほどこして得られる関数を ${\displaystyle u}$，関数 ${\displaystyle y}$ に対して ${\displaystyle g\left(D\right)}$ で表される手続きをほどこして得られる関数を ${\displaystyle v}$ とすると

${\displaystyle u=f\left(D\right)y}$ 　･･････(1)

${\displaystyle v=g\left(D\right)y}$ 　･･････(2)

と表現できる．

(1)-(2)は

${\displaystyle u-v=f\left(D\right)y-g\left(D\right)y}$　･･････(3)

となる．左辺を形式的に

${\displaystyle u-v=\left\{f\left(D\right)-g\left(D\right)\right\}y}$　･･････(4)

と書きかえる．(4)は関数${\displaystyle y}$ に${\displaystyle f\left(D\right)-g\left(D\right)}$で表される手続きをほどこすと関数${\displaystyle u-v}$が得られることを表し，${\displaystyle f\left(D\right)-g\left(D\right)}$は微分演算子といえる．(3)，(4)より

${\displaystyle f\left(D\right)y-g\left(D\right)y=\left\{f\left(D\right)-g\left(D\right)\right\}y}$　･･････(5)

を微分演算子の差と定義する．

■具体的な解説

${\displaystyle f\left(D\right)=D^2+3D}$　･･････(6)

${\displaystyle g\left(D\right)=2D+1}$　･･････(7)

${\displaystyle u=f\left(D\right)y=\left(D^2+3D\right)y}$　･･････(8)

${\displaystyle v=g\left(D\right)y=\left(2D+1\right)y}$　･･････(9)

(8)を微分演算子を使わずに表すと

${\displaystyle u=f\left(D\right)y=\left(D^2+3D\right)y}$${\displaystyle =D^{2}y+3Dy}$${\displaystyle =y^{″}+3y^{\prime }}$　･･････(10)

${\displaystyle v=g\left(D\right)y=\left(2D+1\right)y}$${\displaystyle =2Dy+1\cdot y}$${\displaystyle =2y^{\prime }+y}$　･･････(11)

(7)-(8)より

${\displaystyle u-v=\left(D^2+3D\right)y-\left(2D+1\right)y}$　･･････(12)

(10)-(11)より

${\displaystyle u-v=\left(y^{″}+3y^{\prime }\right)-\left(2y^{\prime }+y\right)}$${\displaystyle =y^{″}+y^{\prime }+y}$　･･････(13)

(13)を微分演算子を使て表すと

${\displaystyle u-v}$${\displaystyle =\left(D^2+D+1\right)y}$　･･････(14)

(12)，(14)より

${\displaystyle \left(D^2+3D\right)y-\left(2D+1\right)y}$${\displaystyle =\left(D^2+D+1\right)y}$　･･････(15)

となる．すなわち，微分演算子は，以下のように多項式と同様に和の計算が成り立っている．

${\displaystyle \left(D^2+3D\right)-\left(2D+1\right)}$${\displaystyle =D^2+D+1}$　･･････(16)

 

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最終更新日： 2023年6月27日