微分演算子の積

微分演算子の積

f( D ) g( D ) 微分演算子とする.

関数 y に対して f( D ) で表される手続きをほどこして得られる関数を u とすると

u=f( D )y    ・・・・・・(1)

と表わせる.

さらに,関数に対して g( D ) で表される手続きをほどこして得られる関数を v とすると

v=g( D )u    ・・・・・・(2)

と表わされる.

(2)の u に(1)の f( D )y を置き換えると

v=g D f D y  ・・・・・・(3)

となる.(3)を形式的に

v= g D f D y  ・・・・・・(4)

と書きかえる.(4)は関数 y g( D )f( D ) で表される手続きをほどこすと関数 v が得られることを表し, g( D )f( D ) は微分演算子といえる.(3),(4)より

g D f D y = g D f D y  ・・・・・・(5)

微分演算子の積と定義する.

(4)を

v = g ( D ) f ( D ) y

のように表してもよい.

■具体的な解説

f D = D 2 +3D  ・・・・・・(6)

g D =2D+1  ・・・・・・(7)

とする.

(1)に(6)を代入し微分演算子の定義にしたがって以下のように書きかえる.

u=f D y= D 2 +3D y = D 2 y+3Dy = y +3 y  ・・・・・・(8)

(2)に(6)を代入し,さらに,(8)を代入して,微分演算子の定義にしたがって以下のように書きかえる.

v=g D u= 2D+1 u=2Du+1u

=2D y +3 y +1 y +3 y

=2D y +2D 3 y + y +3 y

=2 y +6 y + y +3 y

=2 y +7 y +3 y

=2 D 3 y+7 D 2 y+3Dy

= 2 D 3 +7 D 2 +3D y  ・・・・・・(9)

(4)に(6),(7)を代入する.

v= D 2 +3D 2D+1 y  ・・・・・・(10)

(9),(10)より

D 2 +3D 2D+1 y = 2 D 3 +7 D 2 +3D y  ・・・・・・(11)

となる.すなわち,微分演算子は,以下のように多項式と同様に積の計算が成り立っている.

D 2 +3D 2D+1 = D 2 2D+1 +3D 2D+1

=2 D 3 + D 2 +6 D 2 +3D

=2 D 3 +7 D 2 +3D

 

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最終更新日: 2023年6月27日