微分演算子の積

${\displaystyle f\left(D\right)}$ ， ${\displaystyle g\left(D\right)}$ は微分演算子とする．

関数 ${\displaystyle y}$ に対して ${\displaystyle f\left(D\right)}$ で表される手続きをほどこして得られる関数を ${\displaystyle u}$ とすると

${\displaystyle u=f\left(D\right)y }$ 　･･････(1)

と表わせる．

さらに，関数に対して ${\displaystyle g\left(D\right)}$ で表される手続きをほどこして得られる関数を ${\displaystyle v}$ とすると

${\displaystyle v=g\left(D\right)u }$ 　･･････(2)

と表わされる．

(2)の ${\displaystyle u}$ に(1)の ${\displaystyle f\left(D\right)y}$ を置き換えると

${\displaystyle v=g\left(D\right)\left\{f\left(D\right)y\right\}}$　･･････(3)

となる．(3)を形式的に

${\displaystyle v=\left\{g\left(D\right)f\left(D\right)\right\}y}$　･･････(4)

と書きかえる．(4)は関数${\displaystyle y}$ に${\displaystyle g\left(D\right)f\left(D\right)}$で表される手続きをほどこすと関数${\displaystyle v}$が得られることを表し，${\displaystyle g\left(D\right)f\left(D\right)}$は微分演算子といえる．(3)，(4)より

${\displaystyle g\left(D\right)\left\{f\left(D\right)y\right\}=\left\{g\left(D\right)f\left(D\right)\right\}y}$　･･････(5)

を微分演算子の積と定義する．

(4)を

${\displaystyle v=g\left(D\right)f\left(D\right)y}$

のように表してもよい．

■具体的な解説

${\displaystyle f\left(D\right)=D^2+3D}$　･･････(6)

${\displaystyle g\left(D\right)=2D+1}$　･･････(7)

とする．

(1)に(6)を代入し微分演算子の定義にしたがって以下のように書きかえる．

${\displaystyle u=f\left(D\right)y=\left(D^2+3D\right)y}$${\displaystyle =D^{2}y+3Dy}$${\displaystyle =y^{″}+3y^{\prime }}$　･･････(8)

(2)に(6)を代入し，さらに，(8)を代入して，微分演算子の定義にしたがって以下のように書きかえる．

${\displaystyle v=g\left(D\right)u=\left(2D+1\right)u=2Du+1\cdot u}$

${\displaystyle =2D\left(y^{″}+3y^{\prime }\right)+1\cdot \left(y^{″}+3y^{\prime }\right)}$

${\displaystyle =2D{y}^{″}+2D\left(3y^{\prime }\right)+y^{″}+3y^{\prime }}$

${\displaystyle =2y^{‴}+6y^{″}+y^{″}+3y^{\prime }}$

${\displaystyle =2y^{‴}+7y^{″}+3y^{\prime }}$

${\displaystyle =2D^{3}y+7D^{2}y+3Dy}$

${\displaystyle =\left(2D^3+7D^2+3D\right)y}$　･･････(9)

(4)に(6)，(7)を代入する．

${\displaystyle v=\left\{\left(D^2+3D\right)\left(2D+1\right)\right\}y}$　･･････(10)

(9)，(10)より

${\displaystyle \left\{\left(D^2+3D\right)\left(2D+1\right)\right\}y}$${\displaystyle =\left(2D^3+7D^2+3D\right)y}$　･･････(11)

となる．すなわち，微分演算子は，以下のように多項式と同様に積の計算が成り立っている．

${\displaystyle \left(D^2+3D\right)\left(2D+1\right)}$${\displaystyle =D^2\left(2D+1\right)+3D\left(2D+1\right)}$

${\displaystyle =2D^3+D^2+6D^2+3D}$

${\displaystyle =2D^3+7D^2+3D}$

 

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最終更新日： 2023年6月27日