微分演算子の定数倍

微分演算子の定数倍

f( D ) 微分演算子とする.関数 y に対して f( D ) で表される手続きをほどこして得られる関数を u とすると

u=f( D )y  ・・・・・・(1)

と表現できる.

(1)の両辺に定数 c を掛ける.

c f D y =cu  ・・・・・・(2)

cu=v とおくと

c f D y =v  ・・・・・・(3)

となる.(3)を形式的に

cf D y=v  ・・・・・・(4)

と書き直す.(3)は関数 に cf D で表される手続きをほどこすと関数 v が得られることを表し, cf D も演算子であるといえる.

c f D y = cf D y  ・・・・・・(6)

演算子 f D の定数倍と定義する.

(4)を

v=cf D y

のように表してもよい.

■具体的な解説

f D = D 2 +3D  ・・・・・・(5)

c=2  ・・・・・・(6)

とし,(2)を用いて微分演算子の定義を使って計算すると

v=2 f D y =2 D 2 +3D y =2 D 2 y+3Dy =2 y +3 y =2 y +6 y =2 D 2 y+6Dy = 2 D 2 +6D y  ・・・・・・(7)

(4)を用いると

v= 2f D y= 2 D 2 +3D y  ・・・・・・(8)

(7),(8)より

2 D 2 +3D y= 2 D 2 +6D y  ・・・・・・(9)

となる.すなわち,微分演算子は,以下のように多項式と同様に定数倍の計算が成り立っている.

2 D 2 +3D =2 D 2 +6D  ・・・・・・(11)

 

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最終更新日: 2023年6月27日