微分演算子の定数倍

${\displaystyle f\left(D\right)}$ は微分演算子とする．関数 ${\displaystyle y}$ に対して ${\displaystyle f\left(D\right)}$ で表される手続きをほどこして得られる関数を ${\displaystyle u}$とすると

${\displaystyle u=f\left(D\right)y}$ 　･･････(1)

と表現できる．

(1)の両辺に定数${\displaystyle c}$ を掛ける．

${\displaystyle c\left\{f\left(D\right)y\right\}=cu}$ 　･･････(2)

${\displaystyle cu=v}$ とおくと

${\displaystyle c\left\{f\left(D\right)y\right\}=v}$　･･････(3)

となる．(3)を形式的に

${\displaystyle \left\{cf\left(D\right)\right\}y=v}$　･･････(4)

と書き直す．(3)は関数 に${\displaystyle cf\left(D\right)}$ で表される手続きをほどこすと関数${\displaystyle v}$ が得られることを表し，${\displaystyle cf\left(D\right)}$ も演算子であるといえる．

${\displaystyle c\left\{f\left(D\right)y\right\}=\left\{cf\left(D\right)\right\}y}$　･･････(6)

を演算子${\displaystyle f\left(D\right)}$ の定数倍と定義する．

(4)を

${\displaystyle v=cf\left(D\right)y}$

のように表してもよい．

■具体的な解説

${\displaystyle f\left(D\right)=D^2+3D}$　･･････(5)

${\displaystyle c=2}$ 　･･････(6)

とし，(2)を用いて微分演算子の定義を使って計算すると

${\displaystyle v=2\left\{f\left(D\right)y\right\}=2\left\{\left(D^2+3D\right)y\right\}}$${\displaystyle =2\left\{D^{2}y+3Dy\right\}}$${\displaystyle =2\left(y^{″}+3y^{\prime }\right)}$${\displaystyle =2y^{″}+6y^{\prime }}$${\displaystyle =2D^{2}y+6Dy}$ ${\displaystyle =\left(2D^2+6D\right)y}$ 　･･････(7)

(4)を用いると

${\displaystyle v=\left\{2f\left(D\right)\right\}y=\left\{2\left(D^2+3D\right)\right\}y}$ 　･･････(8)

(7)，(8)より

${\displaystyle \left\{2\left(D^2+3D\right)\right\}y=\left(2D^2+6D\right)y}$ 　･･････(9)

となる．すなわち，微分演算子は，以下のように多項式と同様に定数倍の計算が成り立っている．

${\displaystyle 2\left(D^2+3D\right)=2D^2+6D}$ 　･･････(11)

 

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最終更新日： 2023年6月27日