微分演算子の和

微分演算子の和

f( D ) g( D ) 微分演算子とする.

関数 y に対して f( D ) で表される手続きをほどこして得られる関数を u ,関数 y に対して g( D ) で表される手続きをほどこして得られる関数を v とすると

u=f( D )y  ・・・・・・(1)

v=g( D )y  ・・・・・・(2)

と表現できる.

(1)+(2)は

u+v=f D y+g D y  ・・・・・・(3)

となる.左辺を形式的に

u+v = f D +g D y  ・・・・・・(4)

と書きかえる.(4)は関数 y f D +g D で表される手続きをほどこすと関数 u+v が得られることを表し, f D +g D は微分演算子といえる.(3),(4)より

f D y+g D y= f D +g D y  ・・・・・・(5)

微分演算子の和と定義する.

■具体的な解説

f D = D 2 +3D  ・・・・・・(6)

g D =2D+1  ・・・・・・(7)

u=f D y= D 2 +3D y  ・・・・・・(8)

v=g D y= 2D+1 y  ・・・・・・(9)

(8)を微分演算子を使わずに表すと

u=f D y= D 2 +3D y = D 2 y+3Dy = y +3 y  ・・・・・・(10)

v=g D y= 2D+1 y =2Dy+1y =2 y +y  ・・・・・・(11)

(7)+(8)より

u+v= D 2 +3D y+ 2D+1 y  ・・・・・・(12)

(10)+(11)より

u+v= y +3 y + 2 y +y = y +5 y +y  ・・・・・・(13)

(13)を微分演算子を使て表すと

u+v = D 2 +5D+1 y  ・・・・・・(14)

(12),(14)より

D 2 +3D y+ 2D+1 y = D 2 +5D+1 y  ・・・・・・(15)

となる.すなわち,微分演算子は,以下のように多項式と同様に和の計算が成り立っている.

D 2 +3D + 2D+1 = D 2 +5D+1  ・・・・・・(16)

 

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最終更新日: 2023年6月27日