式の導出

${\displaystyle \frac{1}{f\left(D\right)}\left\{cF\left(x\right)\right\}=c\frac{1}{f\left(D\right)}F\left(x\right)}$  ･･････(1)

■導出

微分の性質 ${\displaystyle {\left\{ky\right\}}^{\prime }=k{y}^{\prime }}$ より

${\displaystyle D\left\{ky\right\}=kDy}$  

${\displaystyle D^2\left\{ky\right\}=DD\left\{ky\right\}=D\left\{kDy\right\}}$${\displaystyle =k\left\{D\left\{Dy\right\}\right\}}$${\displaystyle =k{D}^{2}y}$  

${\displaystyle D^n\left\{ky\right\}=k{D}^{n}y}$  

となる．

よって

${\displaystyle f\left(D\right)\left\{ky\right\}=kf\left(D\right)y}$  ･･････(2)

となる．

(1)の左辺に${\displaystyle f\left(D\right)}$ を作用させると

${\displaystyle f\left(D\right)\left[\frac{1}{f\left(D\right)}\left\{cF\left(x\right)\right\}\right]=cF\left(x\right)}$  ･･････(3)　　　　　(${\displaystyle \because f\left(D\right)\frac{1}{f\left(D\right)}=1}$ ⇒詳しくはこちら)

(1)の右辺に${\displaystyle f\left(D\right)}$ を作用させると

${\displaystyle f\left(D\right)\left[c\frac{1}{f\left(D\right)}F\left(x\right)\right]}$ ${\displaystyle =cf\left(D\right)\frac{1}{f\left(D\right)}F\left(x\right)}$

(2)より

${\displaystyle =cF\left(x\right)}$  ･･････(4)  

となる．

(3)(4)より

${\displaystyle f\left(D\right)\left[\frac{1}{f\left(D\right)}\left\{cF\left(x\right)\right\}\right]}$${\displaystyle =f\left(D\right)\left[c\frac{1}{f\left(D\right)}F\left(x\right)\right]}$  

したがって

${\displaystyle \frac{1}{f\left(D\right)}\left\{cF\left(x\right)\right\}=c\frac{1}{f\left(D\right)}F\left(x\right)}$  

 

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　最終更新日： 2023年6月9日