逆演算子の公式の導出

${\displaystyle \frac{1}{D}F\left(x\right)=\int F\left(x\right)dx}$

■導出

${\displaystyle Dy=F\left(x\right)}$  ･･････(1)

の解を逆演算子 ${\displaystyle \frac{1}{D}}$ を用いると

${\displaystyle y=\frac{1}{D}F\left(x\right)}$ ･･････(2)

となる． 

一方，(1)は微分演算子の定義より

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=F\left(x\right)}$  

である．すなわち，${\displaystyle y}$  の導関数が ${\displaystyle F\left(x\right)}$ である．

よって ${\displaystyle y}$  は ${\displaystyle F\left(x\right)}$ を積分することによって求められる．式で表すと

${\displaystyle y={\displaystyle \int F\left(x\right)dx}}$  ･･････(3)

となる．

(2)，(3)より

${\displaystyle \frac{1}{D}F\left(x\right)={\displaystyle \int F\left(x\right)dx}}$  

と表され，逆演算子${\displaystyle \frac{1}{D}}$ は${\displaystyle x}$  で積分することを意味する．

 

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　最終更新日： 2023年6月9日