式の導出

${\displaystyle \frac{1}{f\left(D\right)}{e}^{\alpha x}=\frac{1}{f\left(\alpha \right)}{e}^{\alpha x}}$     ${\displaystyle \left(f\left(\alpha \right)\ne 0\right)}$

■導出

微分演算子の基本公式

${\displaystyle f\left(D\right)e^{\alpha x}=f\left(\alpha \right)e^{\alpha x}}$  ⇒詳細

を利用する．

${\displaystyle f\left(\alpha \right)\ne 0}$  なので，両辺を ${\displaystyle f\left(\alpha \right)}$ で割って

${\displaystyle \frac{1}{f\left(\alpha \right)}f\left(D\right)e^{\alpha x}=e^{\alpha x}}$  

${\displaystyle \frac{1}{f\left(\alpha \right)}}$は定数であるので，

${\displaystyle f\left(D\right)\left[\frac{1}{f\left(\alpha \right)}{e}^{\alpha x}\right]=e^{\alpha x}}$  

よって，逆演算子の定義より

${\displaystyle \frac{1}{f\left(D\right)}{e}^{\alpha x}=\frac{1}{f\left(\alpha \right)}{e}^{\alpha x}}$  

 

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最終更新日：2022年4月28日