式の導出

${\displaystyle \frac{1}{f\left(D\right)}\left[k{e}^{i\alpha x}\right]=\xi \left(x\right)+\eta \left(x\right)i}$  ならば

${\displaystyle \frac{1}{f\left(D\right)}\left[kcos\alpha x\right]=\xi \left(x\right),}$   ${\displaystyle \frac{1}{f\left(D\right)}\left[ksin\alpha x\right]=\eta \left(x\right)}$  　　( ${\displaystyle k}$，${\displaystyle \alpha }$ は定数)

■導出

オイラーの公式

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}$  

を利用する．

${\displaystyle \frac{1}{f\left(D\right)}\left[k{e}^{i\alpha x}\right]}$${\displaystyle =\frac{1}{f\left(D\right)}\left[k\cos \alpha x+ik\sin \alpha x\right]}$  

よって

${\displaystyle \frac{1}{f\left(D\right)}\left[k\cos \alpha x\right]+i\frac{1}{f\left(D\right)}\left[k\sin \alpha x\right]}$${\displaystyle =\xi \left(x\right)+\eta \left(x\right)i}$  

となる，上の式の両辺の実部と虚部を比較して

${\displaystyle \frac{1}{f\left(D\right)}\left[kcos\alpha x\right]=\xi \left(x\right),}$   ${\displaystyle \frac{1}{f\left(D\right)}\left[ksin\alpha x\right]=\eta \left(x\right)}$  

 

ホーム>>カテゴリー分類>>微分>>微分方程式>>逆演算子の公式>>式の導出

学生スタッフ作成
　最終更新日： 2023年6月9日