1階線形微分方程式

微分方程式

${\displaystyle \frac{dy}{dx}+P\left(x\right)y=Q\left(x\right)}$ ･･････(1)

を1階線形微分方程式といい，解は

${\displaystyle y=e^{-{\displaystyle \int Pdx}}\left({\displaystyle \int Q{e}^{{\displaystyle \int Pdx}}dx}+C\right)}$  

となる．

■1階線形微分方程式の解の導出

(1)の両辺に${\displaystyle e^{{\displaystyle \int Pdx}}}$ をかける．

${\displaystyle e^{{\displaystyle \int Pdx}}\left(\frac{dy}{dx}+Py\right)=e^{{\displaystyle \int Pdx}}Q}$  

${\displaystyle \frac{dy}{dx}{e}^{{\displaystyle \int Pdx}}+yP{e}^{{\displaystyle \int Pdx}}=Q{e}^{{\displaystyle \int Pdx}}}$  ･･････(1)

${\displaystyle \frac{d}{dx}\left(y{e}^{{\displaystyle \int Pdx}}\right)=Q{e}^{{\displaystyle \int Pdx}}}$  ･･････(2)

(1)から(2)の式変形の説明 ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left(y{e}^{{\displaystyle \int Pdx}}\right)}$${\displaystyle =\frac{dy}{dx}{e}^{{\displaystyle \int Pdx}}+y\frac{d}{dx}{e}^{{\displaystyle \int Pdx}}}$　　（${\displaystyle \because }$ 積の微分） 第2項を合成関数の微分をする ${\displaystyle =\frac{dy}{dx}{e}^{{\displaystyle \int Pdx}}+y\left(e^{{\displaystyle \int Pdx}}\frac{d}{dx}{\displaystyle \int Pdx}\right)}$ 第2項の${\displaystyle \frac{d}{dx}{\displaystyle \int Pdx}}$ は不定積分の定義より ${\displaystyle P}$ となる ${\displaystyle =\frac{dy}{dx}{e}^{{\displaystyle \int Pdx}}+y\left(e^{{\displaystyle \int Pdx}}P\right)}$ ${\displaystyle =\frac{dy}{dx}{e}^{{\displaystyle \int Pdx}}+yP{e}^{{\displaystyle \int Pdx}}}$

(2)の両辺を積分すると

${\displaystyle y{e}^{{\displaystyle \int Pdx}}={\displaystyle \int Q{e}^{{\displaystyle \int Pdx}}dx}+C}$  

となる．両辺を${\displaystyle e^{{\displaystyle \int Pdx}}}$ で割って

${\displaystyle y=\frac{{\displaystyle \int Q{e}^{{\displaystyle \int Pdx}}dx}+C}{e^{{\displaystyle \int Pdx}}}}$

${\displaystyle =e^{-{\displaystyle \int Pdx}}\left({\displaystyle \int Q{e}^{{\displaystyle \int Pdx}}dx}+C\right)}$　　( ${\displaystyle \because \frac{1}{a}=a^{-1}}$　ここを参照)

 

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　最終更新日： 2023年6月10日