階数低減法 (reduction of order)

${\displaystyle n}$ 階の微分演算子

を用いて表される ${\displaystyle n}$ 階非同次線形微分方程式 ${\displaystyle L_1^{(n)}[y]=f(x)}$  を考える．ここで，${\displaystyle D=d/dx}$ である(微分演算子)．同次方程式 ${\displaystyle L_1^{(n)}[y]=0}$  の解（独立な解は ${\displaystyle n}$ 個）が一つでも分かっていれば，この非同次方程式の階数を一つ下げて， ${\displaystyle n-1}$ 階の線形微分方程式の形に直すことができる．その方法を 階数低減法(reduction of order) という．

⇒ 2階線形微分方程式の場合の例

まず，同次方程式 ${\displaystyle L_1^{(n)}[y]=0}$  のゼロでない解 ${\displaystyle y_1(x)}$ が分かっているとする．つまり，

${\displaystyle L_1^{(n)}[y_1]={\displaystyle \sum _{i=0}^n{a}_i(x)y_1^{(i)}}=0}$     - - - (2)

である．この解と，定数ではない ${\displaystyle x}$ の未知関数 ${\displaystyle u(x)}$ とを用いて，非同次方程式の一般解を

${\displaystyle y(x)=u(x)y_1(x)}$     - - - (3)

とおく．式 (3) に式 (1) を作用させて，

${\displaystyle y^{(i)}=\frac{d^{i}y}{d{x}^i}}$ ${\displaystyle ={\displaystyle \sum _{j=0}^i{}_{i}C{}_j{u}^{(j)}{y}_1^{(i-j)}}}$

を用いると，

${\displaystyle L_1^{(n)}[y]={\displaystyle \sum _{i=0}^n{a}_i(x)}{y}^{(i)}}$

${\displaystyle ={\displaystyle \sum _{i=0}^n{a}_i(x){\displaystyle \sum _{j=0}^i{}_i{C}_j{u}^{(j)}{y}_1^{(i-j)}}}}$

${\displaystyle ={\displaystyle \sum _{i=0}^n{a}_i(x)\left\{u{y}_1^{(i)}+{\displaystyle \sum _{j=1}^i{}_i{C}_j{u}^{(j)}{y}_1^{(i-j)}}\right\}}}$

となる．式 (4) の第1項目は式 (2) より消え，第2項目の和の順序を入れ替えて ${\displaystyle j=0}$ からの和に変更すると，

${\displaystyle L_1^{(n)}[y]={\displaystyle \sum _{j=1}^n\left[{\displaystyle \sum _{i=j}^n{a}_i(x){}_i{C}_j{y}_1^{(i-j)}}\right]u^{(j)}}}$ ${\displaystyle ={\displaystyle \sum _{j=0}^{n-1}\left[{\displaystyle \sum _{i=j+1}^n{a}_i(x){}_i{C}_{j+1}{y}_1^{(i-j-1)}}\right]u^{(j+1)}}}$     - - - (5)

が得られる．ここで， ${\displaystyle w(x)=du/dx}$ を導入すると， ${\displaystyle w^{(j)}=u^{(j+1)}}$  であり，式 (5) の [ ]の中を

${\displaystyle b_j={\displaystyle \sum _{i=j+1}^n{a}_i(x){}_i{C}_{j+1}{y}_1^{(i-j-1)}}}$

とおくと，

${\displaystyle L_1^{(n)}[y]={\displaystyle \sum _{j=0}^{n-1}{b}_j(x)w^{(j)}}=L_2^{(n-1)}[w]}$   ，   ${\displaystyle L_2^{(n)}={\displaystyle \sum _{i=0}^n{b}_i(x)D^i}}$

と書ける．したがって， ${\displaystyle n}$ 階の線形微分方程式 ${\displaystyle L_1^{(n)}[y]=f(x)}$  が ${\displaystyle n-1}$ 階の線形微分方程式 ${\displaystyle L_2^{(n-1)}[w]=f(x)}$ の形に直せるのである．この ${\displaystyle n-1}$ 階の線形微分方程式を（解くことができれば）解いて ${\displaystyle w}$ を求め， ${\displaystyle u={\displaystyle \int wdx}}$ から ${\displaystyle u}$ を求めてやれば，式 (3) より一般解 ${\displaystyle y}$ が求まる．

◎ 2階線形微分方程式の例

階数低減法の例として最もよく知られているのは定数係数の2階同次線形微分方程式の特性方程式の解が実重根の場合(*)であるが，まずはより一般的な場合を考える．

2階非同次線形微分方程式

${\displaystyle y^{″}+a_1(x)y^{\prime }+a_0(x)y=f(x)}$     - - - (6)

について，同次方程式

${\displaystyle y^{″}+a_1(x)y^{\prime }+a_0(x)y=0}$     - - - (7)

の一つの解が ${\displaystyle y_1}$ と分かっているとする． ${\displaystyle x}$ の未知関数 ${\displaystyle u(x)}$ を用いて， ${\displaystyle y=u{y}_1}$ とおくと，

${\displaystyle y^{\prime }=u^{\prime }{y}_1+u{y}_1^{\prime }}$   ，   ${\displaystyle y^{″}=u^{″}{y}_1+2u^{\prime }{y}_1^{\prime }+u{y}_1^{″}}$

である．これらを式 (6) に代入すると，

が得られる． ${\displaystyle y_1}$ は式 (7) の解なので，上式左辺の第3項目の( )の中の式はゼロである．したがって， ${\displaystyle w=u^{\prime }}$  とおいて，両辺を ${\displaystyle y_1}$ で割って整理すると，

${\displaystyle y_1{w}^{\prime }+(2y_1^{\prime }+a_1{y}_1)w=f}$   ⇒   ${\displaystyle w^{\prime }+(\frac{2y_1^{\prime }}{y_1}+a_1)w=\frac{f}{y_1}}$     - - - (8)

となる．これが階数低減法によって得られた1階微分方程式である．この1階微分方程式の積分因子は

${\displaystyle \mu =\exp \left[{\displaystyle \int \left(\frac{2y_1^{\prime }}{y_1}+a_1\right)dx}\right]}$ ${\displaystyle =\exp \left[2{\displaystyle \int \frac{y_1^{\prime }}{y_1}dx}+{\displaystyle \int a_{1}dx}\right]}$ ${\displaystyle =\exp \left[2\log \left|y_1\right|+{\displaystyle \int a_{1}dx}\right]}$ ${\displaystyle =y_1^2\exp \left[{\displaystyle \int a_{1}dx}\right]}$

であり，この積分因子を用いて，一般解として

${\displaystyle w=\frac{1}{\mu }\left[{\displaystyle \int \mu \frac{f}{y_1}dx}+C\right]}$ ${\displaystyle =y_1^{-2}{e}^{-{\displaystyle \int a_{1}dx}}\left[{\displaystyle \int y_{1}f{e}^{{\displaystyle \int a_{1}dx}}dx}+C\right]}$    （ ${\displaystyle C}$ ：任意定数）

が求まる．あとは， ${\displaystyle u={\displaystyle \int wdx}}$ から ${\displaystyle u}$ を求めてやれば，解 ${\displaystyle y=u{y}_1}$ が求まる．

◎ 定数係数の2階同次線形微分方程式の特性方程式の解が実重根の場合

定数係数の2階同次線形微分方程式

${\displaystyle y^{″}+a{y}^{\prime }+by=0}$    （ ${\displaystyle a,b}$ ：実定数）     - - - (9)

において， ${\displaystyle a^2-4b=0}$  のときの解を求めることを考える．この場合，特性方程式 ${\displaystyle {\lambda }^2+a\lambda +b=0}$ の解は

${\displaystyle \lambda =\frac{-a\pm \sqrt{a^2-4b}}{2}=-\frac{a}{2}}$   （実重根）

であるので，式 (9) の一つの解は

${\displaystyle y_1=e^{-\frac{a}{2}x}}$     - - - (10)

である． ${\displaystyle x}$ の未知関数 ${\displaystyle u(x)}$ を用いて， ${\displaystyle y=u{y}_1}$ ${\displaystyle =u{e}^{-\frac{a}{2}x}}$ とおいて，式 (9) に代入して整理すると，

${\displaystyle u^{″}{e}^{-\frac{a}{2}x}-a{u}^{\prime }{e}^{-\frac{a}{2}x}+\frac{a^2}{4}u{e}^{-\frac{a}{2}x}}$${\displaystyle +a\left(u^{\prime }{e}^{-\frac{a}{2}x}-\frac{a}{2}u{e}^{-\frac{a}{2}x}\right)+bu{e}^{-\frac{a}{2}x}=0}$

⇒   ${\displaystyle \left\{u^{″}-\frac{1}{4}\left(a^2-4b\right)u\right\}{e}^{-\frac{a}{2}x}=0}$   ⇒   ${\displaystyle u^{″}{e}^{-\frac{a}{2}x}=0}$

となり， ${\displaystyle w=u^{\prime }}$  とおいて（今の場合，特におく必要はないが）， ${\displaystyle e^{-\frac{a}{2}x}\ne 0}$ であることを考えると，1階微分方程式 ${\displaystyle w^{\prime }=0}$ が得られる．この解は ${\displaystyle w=c_1}$ であり，これより ${\displaystyle u={\displaystyle \int wdx}=c_{1}x+c_2}$ が求まる（ ${\displaystyle c_1,c_2}$ ：任意定数）．したがって，式 (9) の一般解は

${\displaystyle y=u{e}^{-\frac{a}{2}x}}$ ${\displaystyle =(c_{1}x+c_2)e^{-\frac{a}{2}x}}$

となる．このことから，式 (9) のもう一つの独立な解は ${\displaystyle y_2=x{e}^{-\frac{a}{2}x}}$ であることが分かる．

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