特異解をもつ微分方程式の例

特異解をもつ微分方程式の例

■ 微分方程式 ( y ) 2 +4xy 4y =0 の解き方

⇔  ( y +2x ) 2 4x2 4y =0
⇔  ( y +2x ) 2 4 ( y+x2 )=0

ここで u=y+ x2 とおくと u =y +2x より,与式は

( u ) 2 4u =0  ⇔  ( u ) 2 =4u  ⇔  u =±2u

と書ける.上式は変数分離形の微分方程式であり,以下のように積分できる.

12u du =± dx

 ⇔  u= ±x+C C :積分定数)
 ⇔  u= (±x+C) 2 = x2 ±2Cx +C2

ここで c=±C とおき, u=y+ x2 を代入すると,一般解

y=2cx +c2 c :任意定数)

が得られる.

また, ( u ) 2 4u =0 の解として u=0 も存在するので, u=y+ x2=0 より,

y= x2

が得られる.この解は一般解から得られるものではないので特異解である.

 

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