y = f 1 x 1 ， x 1 = f 2 x 2 ， x 3 = f 3 x 3 の関係がある合成関数
y = f 1 f 2 f 3 x 3
は x 3 が独立変数である．この場合，
dy d x 3 = dy d x 1 · d x 1 d x 2 · d x 2 d x 3
となる．
一般的に, y = f 1 x 1 ， x 1 = f 2 x 2 ， x 2 = f 3 x 3 ， ･･････ ， x n = f n x n
の関係があるとき
dy d x n = dy d x 1 · dy d x 1 · dy d x 1 · ⋯ ⋯ · d x n − 1 d x n
となる．このような関係をチェーンルールという．
合成関数の導関数より
y = f 1 x 1
x 1 = f 2 f 3 x 3 = g 3 x 3
y = f 1 g 3 x 3 の合成関数と考えると
dy d x 3 = dy d x 1 · d x 1 d x 3 ･･････(1)
x 1 = f 2 x 2
x 2 = f 3 x 3
x 1 = f 2 f 3 x 3 の合成関数と考えると
d x 1 d x 3 = d x 1 d x 2 · d x 2 d x 3 ･･････(2)
となる．したがって(1)に(2)を代入することにより
dy d x 3 = d y 1 d x 2 · d x 1 d x 2 · d x 2 d x 3
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最終更新日： 2023年5月25日