複素数 $z$ が実数であるための必要十分条件

${\displaystyle \overline{z}=z}$

■証明

●「複素数 $z$ が実数である  $\Rightarrow$   $\overline{z}=z$ 」の証明

複素数 $z$ が実数ならば

$z=a$ ， $a$ は実数

と表せる．よって，共役な複素数の定義より

${\displaystyle \overline{z}=a}$

となり

${\displaystyle \overline{z}=z}$

が成り立つ．

●「 $\overline{z}=z$   $\Rightarrow$  複素数 $z$ が実数である」の証明

${\displaystyle z=a+bi}$ ， $a$ ， $b$ は実数， とすると

${\displaystyle \overline{z}=a-bi}$

である．

$\overline{z}=z$ ならば

$a-bi=a+bi$

が成り立つ必要がある．よって

${\displaystyle a-bi=a+bi}$

${\displaystyle -2bi=0}$

より

${\displaystyle b=0}$

となる．

したがって， ${\displaystyle z=a}$ ，すなわち， ${\displaystyle z}$ は実数である

以上より

複素数 $z$ が実数であるための必要十分条件は

${\displaystyle \overline{z}=z}$

である．

「 $z$ が実数  $\iff$   $\overline{z}=z$ 」が成り立つ．

 

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最終更新日： 2025年11月30日