固有方程式

固有値・固有ベクトルの定義で用いた式

$A x = λ x$ 　･･････(1)

を以下のように書き換える．

$A x - λ x = 0$

$A x - λ E x = 0$

$(A - λ E) x = 0$

$|A - λ E| \neq 0$ であれば，正方行列 $A - λ E$ の逆行列が存在し

$x = {(A - λ E)}^{- 1} 0 = 0$

となり，固有ベクトルの条件 $x \neq 0$ を満たさない．よって，固有ベクトルが存在するためには

$|A - λ E| = 0$

である必要がある．この式のことを固有方程式という．

$A = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{matrix})$

のとき，固有方程式は

$|(\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{matrix}) - λ (\begin{matrix} 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 1 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & 1 \end{matrix})| = 0$

$|\begin{matrix} a_{11} - λ & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} - λ & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} - λ \end{matrix}| = 0$

となり，固有方程式は $λ$ の $n$ 次方程式になる．この固有方程式を解き， $λ$ を求め，各 $λ$ に対応する固有ベクトルを(1)より求めることができる.

ホーム>>カテゴリー分類>>行列>>線形代数>>固有方程式

最終更新日：2022年7月20日