固有多項式

正方行列${\displaystyle A}$において

${\displaystyle f\left(x\right)=\left|xE-A\right|}$

を行列${\displaystyle A}$ の固有多項式という．

${\displaystyle f\left(x\right)=\left|xE-A\right|=0}$

参考：${\displaystyle \left|xE-A\right|=0\iff \left|A-xE\right|=0}$

は固有方程式になる．

${\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right)}$

とすると，固有多項式は

${\displaystyle f\left(x\right)=\left|xE-A\right|}$

${\displaystyle =\left|x\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right)\right|}$

${\displaystyle =\left|\begin{array}{cc}x-a_{11}& -a_{12}\\ -a_{21}& x-a_{22}\end{array}\right|}$

${\displaystyle =\left(x-a_{11}\right)\left(x-a_{22}\right)-\left(-a_{12}\right)\left(-a_{21}\right)}$

${\displaystyle =x^2-\left(a_{11}+a_{22}\right)x+a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_1}$

となる．

 

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最終更新日：2022年8月23日