内積(n次元ベクトル)

${\displaystyle n}$ 次元列ベクトル

${\displaystyle a=\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ ⋮\\ a_n\end{array}\right)}$，${\displaystyle b=\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ ⋮\\ b_n\end{array}\right)}$

において

${\displaystyle a_1{b}_1+a_2{b}_2+\cdots a_n{b}_n={\displaystyle \sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i}}$

となる値を，${\displaystyle a}$ ，${\displaystyle b}$の内積と定義し

${\displaystyle a\cdot b}$

で表す．すなわち

${\displaystyle a\cdot b={\displaystyle \sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i}}$　･･････(1)

となる．内積の計算を行列の計算表現を使うと

${\displaystyle a\cdot b={}^{t}ab}$${\displaystyle =\left(\begin{array}{cccc}{a}_1& a_2& \cdots & a_n\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ ⋮\\ b_n\end{array}\right)}$

となる．

また，行ベクトルでも列ベクトルと同様に内積は(1)で定義される．

内積については次の法則が成り立つ．

(i)   ${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a}$

(ii)  ${\displaystyle \left(a+b\right)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c}$

(iii) ${\displaystyle \left(ka\right)\cdot b=a\cdot \left(kb\right)=k\left(a\cdot b\right)}$

(iv) ${\displaystyle a\cdot a\ge 0}$ ，特に，${\displaystyle a\cdot a=0\iff a=0}$

高校で学んだ内積を参照

　

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最終更新日：2022年9月3日