実対称行列 A の固有値はすべて実数である.
実対称行列 A の固有値を λ ,固有ベクトルを x とすると
Ax=λx
の関係がある.
x⋅ Ax = x t Ax ¯ = x t λx ¯ = λ ¯ x t x ¯ = λ ¯ x ⋅x ¯ ・・・・・・(1)
x⋅ Ax = x t Ax ¯ = x t A ¯ x ¯ = x t A t x ¯ = Ax t x ¯ = λx t x ¯ =λ x t x ¯ =λx ⋅x ¯ ・・・・・・(2)
(1),(2)より
λ ¯ x ⋅x ¯ =λx ⋅x ¯
となる.よって
λ ¯ =λ
となり,固有値 λ は実数となる.
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最終更新日:2022年9月3日