実対称行列の固有値

実対称行列の固有値

■定理

実対称行列 A 固有値はすべて実数である.

■証明

実対称行列 A の固有値を λ ,固有ベクトルを x とすると

Ax=λx

の関係がある.

x Ax = x t Ax ¯ = x t λx ¯ = λ ¯ x t x ¯ = λ ¯ x x ¯  ・・・・・・(1)

x Ax = x t Ax ¯ = x t A ¯ x ¯ = x t A t x ¯ = Ax t x ¯ = λx t x ¯ =λ x t x ¯ =λx x ¯  ・・・・・・(2)

(1),(2)より

λ ¯ x x ¯ =λx x ¯

となる.よって

λ ¯ =λ

となり,固有値 λ は実数となる.

 

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最終更新日:2022年9月3日