行列の計算則   積について(2)

${\displaystyle A}$ が ${\displaystyle k\times l}$ 行列， ${\displaystyle B}$ が ${\displaystyle l\times m}$ 行列， ${\displaystyle C}$ が ${\displaystyle m\times n}$ 行列ならば

${\displaystyle \left(AB\right)C=A\left(BC\right)}$

■証明

${\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1l}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2l}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{k1}& a_{k2}& \cdots & a_{kl}\end{array}\right)}$    ${\displaystyle k\times l}$ 行列

${\displaystyle B=\left(\begin{array}{cccc}{b}_{11}& b_{12}& \cdots & b_{1m}\\ b_{21}& b_{22}& \cdots & b_{2m}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ b_{l1}& b_{l2}& \cdots & b_{lm}\end{array}\right)}$     ${\displaystyle l\times m}$ 行列

${\displaystyle C=\left(\begin{array}{cccc}{c}_{11}& c_{12}& \cdots & c_{1n}\\ c_{21}& c_{22}& \cdots & c_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ c_{m1}& c_{m2}& \cdots & c_{mn}\end{array}\right)}$   ${\displaystyle m\times n}$ 行列

${\displaystyle AB=D=\left(d_{ij}\right)}$  ただし ${\displaystyle d_{ij}={\displaystyle \sum _{h=1}^l{a}_{ih}{b}_{hj}}}$   ${\displaystyle D}$ は ${\displaystyle k\times m}$ 行列

${\displaystyle BC=E=\left(e_{ij}\right)}$  ただし ${\displaystyle e_{ij}={\displaystyle \sum _{g=1}^m{b}_{ig}{c}_{gj}}}$   ${\displaystyle E}$ は ${\displaystyle l\times h}$ 行列

とし，

${\displaystyle \left(AB\right)C=DC=X=\left(x_{ij}\right)}$     ${\displaystyle X}$ は ${\displaystyle k\times n}$ 行列

${\displaystyle A\left(BC\right)=AE=Y=\left(y_{ij}\right)}$     ${\displaystyle Y}$ は ${\displaystyle k\times n}$ 行列

とする．

${\displaystyle x_{ij}={\displaystyle \sum _{g=1}^m{d}_{ig}{c}_{gj}}}$ ${\displaystyle ={\displaystyle \sum _{g=1}^m\left({\displaystyle \sum _{h=1}^l{a}_{ih}{b}_{hg}}\right)c_{gj}}}$

${\displaystyle ={\displaystyle \sum _{h=1}^l{a}_{ih}\left({\displaystyle \sum _{g=1}^m{b}_{hg}{c}_{gj}}\right)}}$

${\displaystyle ={\displaystyle \sum _{h=1}^l{a}_{ih}{e}_{hj}}}$

${\displaystyle =y_{ij}}$

すなわち

${\displaystyle x_{ij}=y_{ij}}$

となり

${\displaystyle \left(AB\right)C=A\left(BC\right)}$

が成り立つ．

ホーム>>カテゴリー分類>>行列>>線形代数>>行列の計算則>>行列の計算則について(2)

最終更新日： 2026年9月25日