行列式の次数下げ その1
・・・・・・(1)
の関係が成り立つ.
■導出
-
,
|
次の正方行列
|
-
,
|
次の正方行列 |
-
|
型行列
|
とおくと(1)は
・・・・・・(2)
の時,(1)の左辺は
・・・・・・(3)
となる.
(3)を1行で展開すると
・・・・・・(4)
となり(1)が成り立つ.
の時,(1)が成り立つと仮定する.
すなわち
・・・・・・(5)
(ただし,
は
次の行列
)
(5)が成り立つと仮定する.
の時(1)の左辺は
・・・・・・(6)
となる.(6)を1行で展開すると
・・・・・・(7)
となる.の1行と
列を除いた行列を
,の列を除いた行列をと表わすことにすると,(7)は
・・・・・・(8)
となる.
(8)に含まれる
は(5)より
・・・・・・(9)
となる.(9)を(8)に代入すると
・・・・・・(10)
となる.
を1行で展開すると
・・・・・・(11)
となる.(11)を(10)に代入すると
・・・・・・(12)
よって
が導かれ,
の時(1)が成り立つと仮定すると
の時も(1)式が成り立つ.
以上より,数学的帰納法より,すべての
で(1)は成り立つ.
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最終更新日:
2023年2月11日