行列式の次数下げ その2
・・・・・・(1)
の関係が成り立つ.
■導出
-
,
|
次の正方行列
|
-
,
|
次の正方行列 |
-
|
型行列
|
とおくと(1)は
・・・・・・(2)
の時,(1)の左辺は
・・・・・・(3)
となる.
(3)を1行で展開すると
・・・・・・(4)
(∵)
となり(1)が成り立つ.
の時,(1)が成り立つと仮定する.
すなわち
・・・・・・(5)
(ただし,
は
次の行列
)
(5)が成り立つと仮定する.
の時(1)の左辺は
・・・・・・(6)
となる.(6)を1行で展開すると
=
a
11
×
(
−1
)
1+m+1
|
0
⋯
0
a
22
⋯
a
2n
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
0
⋯
0
a
n2
⋯
a
kk
b
11
⋯
b
1m
c
12
⋯
c
1k
⋮
⋱
⋮
⋮
b
m1
⋯
b
mm
c
m2
c
mk
|
+
a
12
×
(
−1
)
1+m+2
|
0
⋯
0
a
21
a
23
⋯
a
2k
⋮
⋮
⋮
⋱
0
⋯
0
a
k1
a
n3
⋯
a
kk
b
11
⋯
b
1m
c
11
c
13
⋯
c
1k
⋮
⋱
⋮
b
m1
⋯
b
mm
c
m1
c
m3
⋯
c
mk
|
+⋯+
a
1k
×
(
−1
)
1+m+k
|
0
⋯
0
a
21
⋯
a
2k−1
⋮
⋮
⋮
⋱
0
⋯
0
a
k1
⋯
a
kk−1
b
11
⋯
b
1m
c
11
⋯
c
1k−1
⋮
⋱
⋮
⋮
⋱
⋮
b
m1
⋯
b
mm
c
m1
⋯
c
mk−1
|
・・・・・・(7)
となる.
A
の1行と
i
列を除いた行列を
A
1i
,
C
の
i
列を除いた行列を
C
i
と表わすことにすると,(7)は
=
a
11
×
(
−1
)
1+m+1
|
O
A
11
B
C
1
|
+
a
12
×
(
−1
)
1+m+2
|
O
A
12
B
C
2
|+⋯
+
a
1k
×
(
−1
)
1+m+k
|
O
A
1k
B
C
k
|
=
∑
i=1
k
a
1i
×
(
−1
)
1+m+i
|
O
A
1i
B
C
i
|
・・・・・・(8)
となる.
(8)に含まれる
|
O
A
1i
B
C
i
|
は(5)より
|
O
A
1i
B
C
i
|=
(
−1
)
m(
k−1
)
|
A
1i
|·| B |
・・・・・・(9)
となる.(9)を(8)に代入すると
=
∑
i=1
k
a
1i
×
(
−1
)
1+m+i
×
(
−1
)
m(
k−1
)
|
A
1i
|·| B |
・・・・・・(10)
となる.
| A |
を1行で展開すると
| A |
=
∑
i=1
k
a
1i
×
a
˜
1i
=
∑
i=1
k
a
1i
×
(
−1
)
1+i
|
A
1i
|
・・・・・・(11)
となる.(11)を(10)に代入すると
=
(
−1
)
m
×
(
−1
)
m(
k−1
)
| A |·| B |
=
(
−1
)
mk
| A |·| B |
・・・・・・(12)
よって
|
0
⋯
0
a
22
⋯
a
2n
⋮
⋱
⋮
⋮
⋱
⋮
0
⋯
0
a
n2
⋯
a
kk
b
11
⋯
b
1m
c
12
⋯
c
1k
⋮
⋱
⋮
⋮
⋱
⋮
b
m1
⋯
b
mm
c
m2
⋯
c
mk
|
=
(
−1
)
mk
|
a
11
⋯
a
1k
⋮
⋱
⋮
a
k1
⋯
a
kk
|·|
b
11
⋯
b
1m
⋮
⋱
⋮
b
m1
⋯
b
mm
|
が導かれ,
n=k−1
の時(1)が成り立つと仮定すると
n=k
の時も(1)式が成り立つ.
以上より,数学的帰納法より,すべての
n
で(1)は成り立つ.
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最終更新日:
2023年2月11日