3次の行列式の幾何学的解釈

3次の行列式の場合

${\displaystyle \left|A\right|=\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|}$ の1,2,3列目を，それぞれ列ベクトルとして

${\displaystyle a_1=\left(\begin{array}{c}{a}_{11}\\ a_{21}\\ a_{31}\end{array}\right)}$ , ${\displaystyle a_2=\left(\begin{array}{c}{a}_{12}\\ a_{22}\\ a_{32}\end{array}\right)}$ ，${\displaystyle a_3=\left(\begin{array}{c}{a}_{13}\\ a_{23}\\ a_{33}\end{array}\right)}$

とおくと，${\displaystyle \left|A\right|}$ の絶対値は ${\displaystyle a_1}$ , ${\displaystyle a_2}$ , ${\displaystyle a_3}$ を3辺とする平行六面体の体積に等しい．

■導出

${\displaystyle \left|A\right|}$ を第1列で余因子展開すると

${\displaystyle \left|A\right|=a_{11}\left|\begin{array}{cc}{a}_{22}& a_{23}\\ a_{32}& a_{33}\end{array}\right|-a_{21}\left|\begin{array}{cc}{a}_{12}& a_{13}\\ a_{32}& a_{33}\end{array}\right|}$${\displaystyle +a_{31}\left|\begin{array}{cc}{a}_{12}& a_{13}\\ a_{22}& a_{23}\end{array}\right|}$ ${\displaystyle =a_1\cdot \left(\begin{array}{c}\left|\begin{array}{cc}{a}_{22}& a_{23}\\ a_{32}& a_{33}\end{array}\right|\\ -\left|\begin{array}{cc}{a}_{12}& a_{13}\\ a_{32}& a_{33}\end{array}\right|\\ \left|\begin{array}{cc}{a}_{12}& a_{13}\\ a_{22}& a_{23}\end{array}\right|\end{array}\right)}$

となる．ここで

${\displaystyle \left(\begin{array}{c}\left|\begin{array}{cc}{a}_{22}& a_{23}\\ a_{32}& a_{33}\end{array}\right|\\ -\left|\begin{array}{cc}{a}_{12}& a_{13}\\ a_{32}& a_{33}\end{array}\right|\\ \left|\begin{array}{cc}{a}_{12}& a_{13}\\ a_{22}& a_{23}\end{array}\right|\end{array}\right)}$${\displaystyle =\left(\begin{array}{c}{a}_{22}{a}_{33}-a_{23}{a}_{32}\\ -\left(a_{12}{a}_{33}-a_{13}{a}_{32}\right)\\ a_{12}{a}_{23}-a_{13}{a}_{22}\end{array}\right)}$${\displaystyle ={\mathit{a}}_2\times {\mathit{a}}_3}$ （ベクトルの外積）

であるので，

${\displaystyle \left|A\right|=a_1\cdot \left(a_2\times a_3\right)}$

となる．

${\displaystyle a_1}$ と ${\displaystyle a_2\times a_3}$ のなす角を ${\displaystyle \theta }$ とすると

${\displaystyle a_1\cdot \left(a_2\times a_3\right)=\left|a_1\right|\left|a_2\times a_3\right|\cos \theta }$

${\displaystyle =\left|a_2\times a_3\right|\left(\left|a_1\right|\cos \theta \right)}$

となる． ${\displaystyle \left|a_2\times a_3\right|}$ は ${\displaystyle a_2}$ と ${\displaystyle a_3}$ を2辺とする平行四辺形の面積の値であり， ${\displaystyle \left|a_1\right|\cos \theta }$ の絶対値は，${\displaystyle a_2}$ と ${\displaystyle a_3}$ を2辺とする平行四辺形を底面とする平行六面体の高さである（図を見よ）．

したがって ${\displaystyle 0^{\circ }\le \theta \le {90}^{\circ }}$ のとき，${\displaystyle \left|A\right|}$ の値は ${\displaystyle a_1}$ , ${\displaystyle a_2}$ , ${\displaystyle a_3}$ を3辺とする平行六面体の体積の値となり，${\displaystyle {90}^{\circ }<\theta \le {180}^{\circ }}$ のとき，${\displaystyle \left|A\right|}$ の値は上記体積の値に ${\displaystyle -1}$ をかけたものになる．

 

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最終更新日： 2025年4月22日