3次の行列式の幾何学的解釈

3次の行列式の幾何学的解釈

3次の行列式の場合

| A |=| a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 | の1,2,3列目を,それぞれ列ベクトルとして

a 1 = a 11 a 21 a 31 , a 2 = a 12 a 22 a 32 a 3 = a 13 a 23 a 33

とおくと, | A | 絶対値 a 1 , a 2 , a 3 を3辺とする平行六面体の体積に等しい.

■導出

| A | を第1列で余因子展開すると

| A |= a 11 | a 22 a 23 a 32 a 33 | a 21 | a 12 a 13 a 32 a 33 | + a 31 | a 12 a 13 a 22 a 23 | = a1 a 22 a 23 a 32 a 33 a 12 a 13 a 32 a 33 a 12 a 13 a 22 a 23

となる.ここで

a 22 a 23 a 32 a 33 a 12 a 13 a 32 a 33 a 12 a 13 a 22 a 23 = a 22 a 33 a 23 a 32 a 12 a 33 a 13 a 32 a 12 a 23 a 13 a 22 = a 2 × a 3 ベクトルの外積

であるので,

| A |= a 1 ( a 2 × a 3 )

となる.

a 1 a 2 × a 3 のなす角を θ とすると

a 1 ( a 2 × a 3 )=| a 1 || a 2 × a 3 |cosθ

=| a 2 × a 3 |( | a 1 |cosθ )

となる. | a 2 × a 3 | a 2 a 3 を2辺とする平行四辺形の面積の値であり, | a 1 |cosθ の絶対値は, a 2 a 3 を2辺とする平行四辺形を底面とする平行六面体の高さである(図を見よ).

したがって 0 θ 90 のとき, | A | の値は a 1 , a 2 , a 3 を3辺とする平行六面体の体積の値となり, 90 <θ 180 のとき, | A | の値は上記体積の値に 1 をかけたものになる.

 

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学生スタッフ作成

最終更新日: 2022年6月26日