1次変換

■座標平面(2次元ベクトル空間)の場合

点${\displaystyle P\left(x,y\right)}$ を点${\displaystyle P^{\prime }\left(x^{\prime },y^{\prime }\right)}$ に移す変換において

${\displaystyle \{\begin{array}{c}{x}^{\prime }=ax+by\\ y^{\prime }=cx+dy\end{array}}$  

${\displaystyle \left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)}$  

となる関係がある場合を1次変換という．

また，正方行列${\displaystyle \left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)}$のことを

1次変換の表現行列という．

⇒1次変換の解説

■座標空間(3次元ベクトル空間)の場合

点${\displaystyle P\left(x,y,z\right)}$ を点${\displaystyle P^{\prime }\left(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime }\right)}$ に移す変換において

${\displaystyle \{\begin{array}{c}{x}^{\prime }=a_{11}x+a_{12}y+a_{13}z\\ y^{\prime }=a_{21}x+a_{22}y+a_{23}z\\ z^{\prime }=a_{31}x+a_{32}y+a_{33}z\end{array}}$  

${\displaystyle \left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ z^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)}$  

となる関係がある場合を1次変換という．

また，正方行列${\displaystyle \left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right)}$のことを

1次変換の表現行列という．

■$n$ 次元ベクトル空間の場合

$n$ 次元ベクトル を$n$ 次元ベクトル にする変換において

　（ただし，$A$は$n$ 次正方行列）

となる関係がある場合を1次変換という．また，正方行列 $A$のことを1次変換の表現行列という．

すなわち，線形写像において表現行列が正方行列の場合を1次変換という．

■逆写像

表現行列$A$の逆行列 $A^{-1}$ が存在すると

となり，逆写像の表現行列は ${\displaystyle A^{-1}}$ となる．

 

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最終更新日： 2025年1月20日