クラメルの公式

クラメルの公式

■2元1次連立方程式の場合

連立方程式

a 1 x + b 1 y = c 1 a 2 x + b 2 y = c 2

を行列を用いて,

a 1 b 1 a 2 b 2 x y = c 1 c 2

と表す.

A = a 1 b 1 a 2 b 2 とおく.

A = a 1 b 1 a 2 b 2 0 のとき,連立方程式の解は,

x = 1 A c 1 b 1 c 2 b 2 = c 1 b 1 c 2 b 2 a 1 b 1 a 2 b 2

y = 1 A a 1 c 1 a 2 c 2 = a 1 c 1 a 2 c 2 a 1 b 1 a 2 b 2

で与えられる.

これらの解を表す式をクラメルの公式という.

■3元1次連立方程式の場合

連立方程式

a 1 x + b 2 y + c 1 z = d 1 a 2 x + b 2 y + c 2 z = d 2 a 3 x + b 3 y + c 3 z = d 3

を行列を用いて

a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 x y z = d 1 d 2 d 3

と表す.

A = a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 とおく.

A = a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 0 のとき,連立方程式の解は,

x = 1 A d 1 b 1 c 1 d 2 b 2 c 2 d 3 b 3 c 3 = d 1 b 1 c 1 d 2 b 2 c 2 d 3 b 3 c 3 a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3

y = 1 A a 1 d 1 c 1 a 2 d 2 c 2 a 3 d 3 c 3 = a 1 d 1 c 1 a 2 d 2 c 2 a 3 d 3 c 3 a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3

z = 1 A a 1 b 1 d 1 a 2 b 2 d 2 a 3 b 3 d 3 = a 1 b 1 d 1 a 2 b 2 d 2 a 3 b 3 d 3 a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3

で与えられる.

■n元1次連立方程式の場合

{ a 11 x 1 + a 12 x 2 ++ a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 ++ a 2n x n = b 2 a n1 x 1 + a n2 x 2 ++ a 1n x n = b n

を行列を用いて

( a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn )( x 1 x 2 x n )=( b 1 b 2 b n )

と表す.

A=( a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn ) とおく.

| A |=| a 11 a 12 a 1n a 12 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn |0 のとき,連立方程式の解は,

x 1 = 1 | A | | b 1 a 12 a 1n b 2 a 22 a 2n b n a n2 a nn |= | b 1 a 12 a 1n b 2 a 22 a 2n b n a n2 a nn | | a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn |

  x 2 = 1 | A | | a 11 b 1 a 1n a 21 b 2 a 2n a n1 b n a nn |= | a 11 b 1 a 1n a 21 b 2 a 2n a n1 b n a nn | | a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn |

x n = 1 | A | | a 11 a 12 b 1 a 21 a 22 b 2 a n1 a n2 b n |= | a 11 a 12 b 1 a 21 a 22 b 2 a n1 a n2 b n | | a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn |

で与えられる.導出

 

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最終更新日:2022年9月9日