クラメルの公式の導出

クラメルの公式の導出

n 元1次連立方程式

{ a 11 x 1 + a 12 x 2 ++ a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 ++ a 2n x n = b 2 a n1 x 1 + a n2 x 2 ++ a 1n x n = b n  ・・・・・・(1)

の解は

x j = linej a 11 b 1 a 1n a 21 b 2 a 2n a n1 b n a nn a 11 a 11 a 1n a 21 a 11 a 2n a n1 a 11 a nn  ・・・・・・(2)

( j=1,2,,n )

となる.(2)の解の式のことをクラメルの公式という.

■導出

(1)を行列を用いて表すと

( a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn )( x 1 x 2 x n )=( b 1 b 2 b n )  ・・・・・・(3)

となる.係数行列 ( a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn )= A とおく.

| A |0 のとき, A は逆行列 A 1 が存在し,(3)の両辺に左から A 1 をかけると

x 1 x 2 x n = A 1 b 1 b 2 b n

A 1 = 1 A a ˜ 11 a ˜ 21 a ˜ n1 a ˜ 12 a ˜ 22 a ˜ n2 a ˜ 1n a ˜ 2n a ˜ nn  (ここを参照)より

= 1 A a ˜ 11 a ˜ 21 a ˜ n1 a ˜ 12 a ˜ 22 a ˜ n2 a ˜ 1n a ˜ 2n a ˜ nn b 1 b 2 b n

= 1 A a ˜ 11 b 1 + a ˜ 21 b 2 ++ a ˜ n1 b n a ˜ 12 b 1 + a ˜ 22 b 2 ++ a ˜ n2 b n a ˜ 1n b 1 + a ˜ 2n b 2 ++ a ˜ nn b n

これより

x j = 1 A a ˜ 1j b 1 + a ˜ 2j b 2 ++ a ˜ nj b n  ・・・・・・(4)

( j=1,2,,n )

となる.

A j 列で展開すると

a 11 a 1j a 1n a 21 a 2j a 2n a n1 a nj a nn = a 1j a ˜ 1j + a 2j a ˜ 2j ++ a nj a ˜ nj  ・・・・・・(5)

となる. A j 列を b 1 b 2 b n と入れ替えて j 列で展開すると

a 11 b 1 a 1n a 21 b 2 a 2n a n1 b n a nn = b 1 a ˜ 1j + b 2 a ˜ 2j ++ b n a ˜ nj  ・・・・・・(6)

(4)と(6)より

x j = 1 A a 11 b 1 a 1n a 21 b 2 a 2n a n1 b n a nn

x j = linej a 11 b 1 a 1n a 21 b 2 a 2n a n1 b n a nn a 11 a 11 a 1n a 21 a 11 a 2n a n1 a 11 a nn

となり,公式が得られる.

 

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最終更新日:2022年9月9日