クラメルの公式の導出

$n$ 元1次連立方程式

${\begin{matrix} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n} = b_{1} \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + \dots + a_{2 n} x_{n} = b_{2} \\ ⋮ \\ a_{n 1} x_{1} + a_{n 2} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n} = b_{n} \end{matrix}$ 　･･････(1)

の解は

$x_{j} = \frac{\begin{matrix} \begin{matrix} line j \\ ↓ \end{matrix} \\ |\begin{matrix} a_{11} & \dots & b_{1} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & \dots & b_{2} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & \dots & b_{n} & \dots & a_{n n} \end{matrix}| \end{matrix}}{|\begin{matrix} a_{11} & a_{11} & \dots & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{11} & \dots & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{11} & \dots & \dots & a_{n n} \end{matrix}|}$ 　･･････(2)

( $j = 1, 2, \dots, n$ )

となる．(2)の解の式のことをクラメルの公式という．

■導出

(1)を行列を用いて表すと

$(\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{matrix}) (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ ⋮ \\ b_{n} \end{matrix})$ 　･･････(3)

となる．係数行列 $(\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{matrix}) = A$ とおく．

$| A | \neq 0$ のとき， $A$ は逆行列 $A^{- 1}$ が存在し，(3)の両辺に左から $A^{- 1}$ をかけると

$(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix}) = A^{- 1} (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ ⋮ \\ b_{n} \end{matrix})$

$A^{- 1} = \frac{1}{|A|} (\begin{matrix} {\tilde{a}}_{11} & {\tilde{a}}_{21} & \dots & {\tilde{a}}_{n 1} \\ {\tilde{a}}_{12} & {\tilde{a}}_{22} & \dots & {\tilde{a}}_{n 2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ {\tilde{a}}_{1 n} & {\tilde{a}}_{2 n} & \dots & {\tilde{a}}_{n n} \end{matrix})$ 　(ここを参照)より

$= \frac{1}{|A|} (\begin{matrix} {\tilde{a}}_{11} & {\tilde{a}}_{21} & \dots & {\tilde{a}}_{n 1} \\ {\tilde{a}}_{12} & {\tilde{a}}_{22} & \dots & {\tilde{a}}_{n 2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ {\tilde{a}}_{1 n} & {\tilde{a}}_{2 n} & \dots & {\tilde{a}}_{n n} \end{matrix}) (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ ⋮ \\ b_{n} \end{matrix})$

$= \frac{1}{|A|} (\begin{matrix} {\tilde{a}}_{11} b_{1} + {\tilde{a}}_{21} b_{2} + \dots + {\tilde{a}}_{n 1} b_{n} \\ {\tilde{a}}_{12} b_{1} + {\tilde{a}}_{22} b_{2} + \dots + {\tilde{a}}_{n 2} b_{n} \\ ⋮ \\ {\tilde{a}}_{1 n} b_{1} + {\tilde{a}}_{2 n} b_{2} + \dots + {\tilde{a}}_{n n} b_{n} \end{matrix})$

これより

$x_{j} = \frac{1}{|A|} ({\tilde{a}}_{1 j} b_{1} + {\tilde{a}}_{2 j} b_{2} + \dots + {\tilde{a}}_{n j} b_{n})$ 　･･････(4)

( $j = 1, 2, \dots, n$ )

となる．

$A$ を $j$ 列で展開すると

$|\begin{matrix} a_{11} & \dots & a_{1 j} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & \dots & a_{2 j} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & \dots & a_{n j} & \dots & a_{n n} \end{matrix}|$ $= a_{1 j} {\tilde{a}}_{1 j} + a_{2 j} {\tilde{a}}_{2 j} + \dots + a_{n j} {\tilde{a}}_{n j}$ 　･･････(5)

となる． $A$ の $j$ 列を $(\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ ⋮ \\ b_{n} \end{matrix})$ と入れ替えて $j$ 列で展開すると

$|\begin{matrix} a_{11} & \dots & b_{1} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & \dots & b_{2} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & \dots & b_{n} & \dots & a_{n n} \end{matrix}|$ $= b_{1} {\tilde{a}}_{1 j} + b_{2} {\tilde{a}}_{2 j} + \dots + b_{n} {\tilde{a}}_{n j}$ 　･･････(6)

(4)と(6)より

$x_{j} = \frac{1}{|A|} |\begin{matrix} a_{11} & \dots & b_{1} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & \dots & b_{2} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & \dots & b_{n} & \dots & a_{n n} \end{matrix}|$

となり，公式が得られる．

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最終更新日：2022年9月9日