トレースの性質2

$A$ は $m \times n$ 型行列， $B$ は $n \times m$ 型行列のとき

$tr (A B) = tr (B A)$

が成り立つ

■証明

$A = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{matrix})$ ･･････(1)

$B = (\begin{matrix} b_{11} & b_{12} & \dots & b_{1 m} \\ b_{21} & b_{22} & \dots & b_{2 m} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ b_{n 1} & b_{n 2} & \dots & b_{n m} \end{matrix})$ ･･････(2)

$A B = C = (c_{i j})$ ･･････(3)

（ $A B$ は $m \times m$ 型行列）

$B A = D = (d_{k l})$ ･･････(4)

（ $B A$ は $n \times n$ 型行列）

とおく．

行列の積の計算より

$c_{i j} = \sum_{k = 1}^{n} a_{i k} b_{k j}$ ･･････(5)

$d_{k l} = \sum_{i = 1}^{m} b_{k i} a_{i l}$ ･･････(6)

となる．

(5)より

$tr (A B) = \sum_{i = 1}^{m} c_{i i}$ $= \sum_{i = 1}^{m} (\sum_{k = 1}^{n} a_{i k} b_{k i})$ ･･････(7)

(6)より

$tr (B A) = \sum_{k = 1}^{n} d_{k k}$ $= \sum_{k = 1}^{n} (\sum_{i = 1}^{m} b_{k i} a_{i k})$ ･･････(8)

$\sum_{i = 1}^{m} (\sum_{k = 1}^{n} a_{i k} b_{k i})$ を以下のように式変形をする．

$\sum_{i = 1}^{m} (\sum_{k = 1}^{n} a_{i k} b_{k i})$ $= \sum_{i = 1}^{m} (a_{i 1} b_{1 i} + a_{i 2} b_{2 i} + \dots + a_{i n} b_{n i})$

$= (a_{11} b_{11} + a_{12} b_{21} + \dots + a_{1 n} b_{n 1})$ $+ (a_{21} b_{12} + a_{22} b_{22} + \dots + a_{2 n} b_{n 2})$ $+ \dots + (a_{m 1} b_{1 m} + a_{m 2} b_{2 m} + \dots + a_{m n} b_{n m})$

$= (b_{11} a_{11} + b_{21} a_{12} + \dots + b_{n 1} a_{1 n})$ $+ (b_{12} a_{21} + b_{22} a_{22} + \dots + b_{n 2} a_{2 n})$ $+ \dots + (b_{1 m} a_{m 1} + b_{2 m} a_{m 2} + \dots + b_{n m} a_{m n})$

$= (b_{11} a_{11} + b_{12} a_{21} + \dots + b_{1 m} a_{m 1})$ $+ (b_{21} a_{12} + b_{22} a_{22} + \dots + b_{2 m} a_{m 2})$ $+ \dots + (b_{n 1} a_{1 n} + b_{n 2} a_{2 n} + \dots + b_{n m} a_{m n})$

$= \sum_{k = 1}^{n} (b_{k 1} a_{1 k} + b_{k 2} a_{2 k} + \dots + b_{k m} a_{m k})$

$= \sum_{k = 1}^{n} (\sum_{i = 1}^{m} b_{k i} a_{i k})$

すなわち

$\sum_{i = 1}^{m} (\sum_{k = 1}^{n} a_{i k} b_{k i}) = \sum_{k = 1}^{n} (\sum_{i = 1}^{m} b_{k i} a_{i k})$ ･･････(9)

の関係がある．

(7)，(8)，(9)より

$tr (A B) = tr (B A)$

が成り立つ．

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最終更新日：2026年7月10日