基底の変換(詳細)

基底の変換 (transformation of basis) (詳細)

n 次元実ベクトル空間 Rn の任意のベクトルの成分表示

a = ( a1 a2 an )     --- (1)

基本ベクトル { e1 , e2 , , en } を用いて,基本ベクトル表示

a = a1 e1 + a2 e2 ++ an en     --- (2)

で表すことができ,(1) の表記は (2) の係数の組 ( a1 , a2 ,, an ) でもってベクトルを表す方法とみることができる. { e1 , e2 , , en } Rn の基底の一つであり,ベクトル a を別の任意の基底 { e1 , e2 , , en } を用いて同様に

a = a1 e1 + a2 e2 ++ an en     --- (3)

と表すこともできる.ここで, { e1 , e2 , , en } 正規直交基底である必要はない.このように基底を取り替えた場合,ベクトル a を表す際に係数の組 ( a1 , a2 ,, an ) で (1) と同じ成分表示の表記を使うというのは紛らわしいので,(2) や (3) の行列表現を用いて,

a = a1 e1 + a2 e2 ++ an en = ( e1 e2 en ) ( a1 a2 an )
   = a1 e1 + a2 e2 ++ an en = ( e1 e2 en ) ( a1 a2 an )     --- (4)

というように,係数の n×1 行列の前に基底の n×n 行列をかけて表すことで基底を明示し区別すると,どういう基底を用いているか分かりやすい.

基底 { e1 , e2 , , en } から別の基底 { e1 , e2 , , en } への変換を行列 T を用いて

( e1 e2 en ) = ( e1 e2 en ) T     --- (5)

のように表すことにすると,この変換行列 T

T = ( e1 e2 en ) 1 ( e1 e2 en )     --- (6)

である.今の場合, { e1 , e2 , , en } は基本ベクトルなので, T = E1 ( e1 e2 en ) = ( e1 e2 en ) となる.(4) の関係から

( e1 e2 en ) ( a1 a2 an ) = ( e1 e2 en ) T T1 ( a1 a2 an ) = ( e1 e2 en ) ( a1 a2 an )

であるので,係数 ( a1 , a2 ,, an ) と係数 ( a1 , a2 ,, an ) の間に1次変換

( a1 a2 an ) = T1 ( a1 a2 an )       ⇔       ( a1 a2 an ) = T ( a1 a2 an )     --- (7)

の関係があることが分かる.

次に, Rn から Rn への線形写像 f: Rn Rn を考え,この線形写像によって b= f(a) と変換されるとする. f の表現行列を A とすると

b = ( b1 b2 bn ) = A ( a1 a2 an )     --- (8)

であるが,これを (4) のように基底を明示して表記すると,

b = b1 e1 + b2 e2 ++ bn en = ( e1 e2 en ) ( b1 b2 bn ) = ( e1 e2 en ) A ( a1 a2 an )     --- (9)

となる.右辺において (5),(7) を用いると

( e1 e2 en ) A ( a1 a2 an ) = ( e1 e2 en ) T1AT ( a1 a2 an )     --- (10)

であり, b を別の基底 { e1 , e2 , , en } で表記すると,

b = b1 e1 + b2 e2 ++ bn en = ( e1 e2 en ) ( b1 b2 bn )     --- (11)

であることから

( b1 b2 bn ) = T1AT ( a1 a2 an )     --- (12)

の関係があることが分かる.

以上のことから,基底の変換

( e1 e2 en ) = ( e1 e2 en ) T

により,基底 { e1 , e2 , , en } において ( a1 a2 an ) と表されるベクトルは,別の基底 { e1 , e2 , , en } においては T1 ( a1 a2 an ) で表され,基底 { e1 , e2 , , en } における線形写像の表現行列 A は,基底 { e1 , e2 , , en } において T1AT と表されることがわかる.このことは,変換元の基底が基本ベクトル { e1 , e2 , , en } でなくとも一般的に成り立つことである.


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最終更新日: 2023年2月9日