基底の変換 (transformation of basis) (詳細)

$n$ 次元実ベクトル空間 $R^{n}$ の任意のベクトルの成分表示

$a = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ ⋮ \\ a_{n} \end{matrix})$ --- (1)

は基本ベクトル ${e_{1}, e_{2}, \dots, e_{n}}$ を用いて，基本ベクトル表示

$a = a_{1} e_{1} + a_{2} e_{2} + \dots + a_{n} e_{n}$ --- (2)

で表すことができ，(1) の表記は (2) の係数の組 $(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})$ でもってベクトルを表す方法とみることができる． ${e_{1}, e_{2}, \dots, e_{n}}$ は $R^{n}$ の基底の一つであり，ベクトル $a$ を別の任意の基底 ${e_{1}^{'}, e_{2}^{'}, \dots, e_{n}^{'}}$ を用いて同様に

$a = a_{1}^{'} e_{1}^{'} + a_{2}^{'} e_{2}^{'} + \dots + a_{n}^{'} e_{n}^{'}$ --- (3)

と表すこともできる．ここで， ${e_{1}^{'}, e_{2}^{'}, \dots, e_{n}^{'}}$ は正規直交基底である必要はない．このように基底を取り替えた場合，ベクトル $a$ を表す際に係数の組 $(a_{1}^{'}, a_{2}^{'}, \dots, a_{n}^{'})$ で (1) と同じ成分表示の表記を使うというのは紛らわしいので，(2) や (3) の行列表現を用いて，

$a = a_{1} e_{1} + a_{2} e_{2} + \dots + a_{n} e_{n}$ $= (\begin{matrix} e_{1} & e_{2} & \dots & e_{n} \end{matrix}) (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ ⋮ \\ a_{n} \end{matrix})$
$= a_{1}^{'} e_{1}^{'} + a_{2}^{'} e_{2}^{'} + \dots + a_{n}^{'} e_{n}^{'}$ $= (\begin{matrix} e_{1}^{'} & e_{2}^{'} & \dots & e_{n}^{'} \end{matrix}) (\begin{matrix} a_{1}^{'} \\ a_{2}^{'} \\ ⋮ \\ a_{n}^{'} \end{matrix})$ --- (4)

というように，係数の $n \times 1$ 行列の前に基底の $n \times n$ 行列をかけて表すことで基底を明示し区別すると，どういう基底を用いているか分かりやすい．

基底 ${e_{1}, e_{2}, \dots, e_{n}}$ から別の基底 ${e_{1}^{'}, e_{2}^{'}, \dots, e_{n}^{'}}$ への変換を行列 $T$ を用いて

$(\begin{matrix} e_{1}^{'} & e_{2}^{'} & \dots & e_{n}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} e_{1} & e_{2} & \dots & e_{n} \end{matrix}) T$ --- (5)

のように表すことにすると，この変換行列 $T$ は

$T = {(\begin{matrix} e_{1} & e_{2} & \dots & e_{n} \end{matrix})}^{- 1} (\begin{matrix} e_{1}^{'} & e_{2}^{'} & \dots & e_{n}^{'} \end{matrix})$ --- (6)

である．今の場合， ${e_{1}, e_{2}, \dots, e_{n}}$ は基本ベクトルなので， $T = E^{- 1} (\begin{matrix} e_{1}^{'} & e_{2}^{'} & \dots & e_{n}^{'} \end{matrix})$ $= (\begin{matrix} e_{1}^{'} & e_{2}^{'} & \dots & e_{n}^{'} \end{matrix})$ となる．(4) の関係から

$(\begin{matrix} e_{1} & e_{2} & \dots & e_{n} \end{matrix}) (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ ⋮ \\ a_{n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} e_{1} & e_{2} & \dots & e_{n} \end{matrix}) T T^{- 1} (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ ⋮ \\ a_{n} \end{matrix})$ $= (\begin{matrix} e_{1}^{'} & e_{2}^{'} & \dots & e_{n}^{'} \end{matrix}) (\begin{matrix} a_{1}^{'} \\ a_{2}^{'} \\ ⋮ \\ a_{n}^{'} \end{matrix})$

であるので，係数 $(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})$ と係数 $(a_{1}^{'}, a_{2}^{'}, \dots, a_{n}^{'})$ の間に1次変換

$(\begin{matrix} a_{1}^{'} \\ a_{2}^{'} \\ ⋮ \\ a_{n}^{'} \end{matrix}) = T^{- 1} (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ ⋮ \\ a_{n} \end{matrix})$ ⇔ $(\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ ⋮ \\ a_{n} \end{matrix}) = T (\begin{matrix} a_{1}^{'} \\ a_{2}^{'} \\ ⋮ \\ a_{n}^{'} \end{matrix})$ --- (7)

の関係があることが分かる．

次に， $R^{n}$ から $R^{n}$ への線形写像 $f : R^{n} \to R^{n}$ を考え，この線形写像によって $b = f (a)$ と変換されるとする． $f$ の表現行列を $A$ とすると

$b = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ ⋮ \\ b_{n} \end{matrix})$ $= A (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ ⋮ \\ a_{n} \end{matrix})$ --- (8)

であるが，これを (4) のように基底を明示して表記すると，

$b = b_{1} e_{1} + b_{2} e_{2} + \dots + b_{n} e_{n}$ $= (\begin{matrix} e_{1} & e_{2} & \dots & e_{n} \end{matrix}) (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ ⋮ \\ b_{n} \end{matrix})$ $= (\begin{matrix} e_{1} & e_{2} & \dots & e_{n} \end{matrix}) A (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ ⋮ \\ a_{n} \end{matrix})$ --- (9)

となる．右辺において (5)，(7) を用いると

$(\begin{matrix} e_{1} & e_{2} & \dots & e_{n} \end{matrix}) A (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ ⋮ \\ a_{n} \end{matrix})$ $= (\begin{matrix} e_{1}^{'} & e_{2}^{'} & \dots & e_{n}^{'} \end{matrix}) T^{- 1} A T (\begin{matrix} a_{1}^{'} \\ a_{2}^{'} \\ ⋮ \\ a_{n}^{'} \end{matrix})$ --- (10)

であり， $b$ を別の基底 ${e_{1}^{'}, e_{2}^{'}, \dots, e_{n}^{'}}$ で表記すると，

$b = b_{1}^{'} e_{1}^{'} + b_{2}^{'} e_{2}^{'} + \dots + b_{n}^{'} e_{n}^{'}$ $= (\begin{matrix} e_{1}^{'} & e_{2}^{'} & \dots & e_{n}^{'} \end{matrix}) (\begin{matrix} b_{1}^{'} \\ b_{2}^{'} \\ ⋮ \\ b_{n}^{'} \end{matrix})$ --- (11)

であることから

$(\begin{matrix} b_{1}^{'} \\ b_{2}^{'} \\ ⋮ \\ b_{n}^{'} \end{matrix}) = T^{- 1} A T (\begin{matrix} a_{1}^{'} \\ a_{2}^{'} \\ ⋮ \\ a_{n}^{'} \end{matrix})$ --- (12)

の関係があることが分かる．

以上のことから，基底の変換

$(\begin{matrix} e_{1}^{'} & e_{2}^{'} & \dots & e_{n}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} e_{1} & e_{2} & \dots & e_{n} \end{matrix}) T$

により，基底 ${e_{1}, e_{2}, \dots, e_{n}}$ において $(\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ ⋮ \\ a_{n} \end{matrix})$ と表されるベクトルは，別の基底 ${e_{1}^{'}, e_{2}^{'}, \dots, e_{n}^{'}}$ においては $T^{- 1} (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ ⋮ \\ a_{n} \end{matrix})$ で表され，基底 ${e_{1}, e_{2}, \dots, e_{n}}$ における線形写像の表現行列 $A$ は，基底 ${e_{1}^{'}, e_{2}^{'}, \dots, e_{n}^{'}}$ において $T^{- 1} A T$ と表されることがわかる．このことは，変換元の基底が基本ベクトル ${e_{1}, e_{2}, \dots, e_{n}}$ でなくとも一般的に成り立つことである．

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最終更新日： 2023年2月9日