基底 (basis)と次元（dimension）

ベクトル空間 ${\displaystyle V}$ の ${\displaystyle r}$ 個のベクトルの組 ${\displaystyle \left\{v_1,v_2,\cdots ,v_r\right\}}$ が1次独立(線形独立)で， ${\displaystyle V}$ の部分空間 ${\displaystyle W}$ を張るとき， ${\displaystyle \left\{v_1,v_2,\cdots ,v_r\right\}}$ を ${\displaystyle W}$ の 基底 (basis) ，ベクトルの組の数${\displaystyle r}$ を${\displaystyle W}$の次元（dimension）という．

${\displaystyle W}$の次元が${\displaystyle r}$（${\displaystyle r}$次元）であれば

${\displaystyle \dim W=r}$

と表す．

${\displaystyle W}$ の任意のベクトル${\displaystyle a}$ は基底 ${\displaystyle \left\{v_1,v_2,\cdots ,v_r\right\}}$ の1次結合として一意に表せ

${\displaystyle a=a_1{v}_1+a_2{v}_2+\cdots +a_r{v}_r\in W}$      ${\displaystyle \left(a_1,a_2,\cdots ,a_r\in R\right)}$

となる．

基底 ${\displaystyle \left\{v_1,v_2,\cdots ,v_r\right\}}$ の個々のベクトルの大きさが 1 で，互いに直交する場合，つまり

${\displaystyle \left|v_i\right|=1}$
${\displaystyle v_i\cdot v_j=0}$   ${\displaystyle (i\ne j)}$

のとき，この基底を正規直交基底 (orthonormal basis) という．

例えば， ${\displaystyle n}$ 次元実ベクトル空間 ${\displaystyle R^n}$ の基本ベクトル ${\displaystyle \left\{e_1,e_2,\cdots ,e_n\right\}}$ は1次独立であり， ${\displaystyle R^n}$ を張っているので， ${\displaystyle R^n}$ の基底となっている．さらに，個々のベクトルは大きさ 1 で互いに直交するので正規直交基底である．

■具体例

部分空間${\displaystyle W=\left\{\left.\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)\right|x+2y=0\right\}\subset R^2}$ の基底と次元を求める．

${\displaystyle x+2y=0}$ より，${\displaystyle x=-2y}$

よって

${\displaystyle \left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2y\\ y\end{array}\right)=y\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\end{array}\right)}$

となり，

${\displaystyle W=〈\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\end{array}\right)〉}$　（部分空間${\displaystyle W}$ は${\displaystyle \left(\begin{array}{c}-2\\ 1\end{array}\right)}$ で張られる部分空間である．）

また，

${\displaystyle c\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\end{array}\right)=0\Rightarrow \text{c=}0}$

より，${\displaystyle \left(\begin{array}{c}-2\\ 1\end{array}\right)}$ は1次独立である．

以上より，部分空間${\displaystyle W}$の基底は${\displaystyle \left\{\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\end{array}\right)\right\}}$ で，次元は${\displaystyle \dim W=1}$ である．

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最終更新日：2025年4月22日