ベクトル空間 の 個のベクトルの組 が1次独立(線形独立)で, の部分空間 を張るとき, を の 基底 (basis) ,ベクトルの組の数 をの次元(dimension)という.
の次元が(次元)であれば
と表す.
の任意のベクトル は基底 の1次結合として一意に表せ
となる.
基底 の個々のベクトルの大きさが 1 で,互いに直交する場合,つまり
のとき,この基底を正規直交基底 (orthonormal basis) という.
例えば, 次元実ベクトル空間 の基本ベクトル は1次独立であり, を張っているので, の基底となっている.さらに,個々のベクトルは大きさ 1 で互いに直交するので正規直交基底である.
部分空間 の基底と次元を求める.
より,
よって
となり,
(部分空間 は で張られる部分空間である.)
また,
より, は1次独立である.
以上より,部分空間の基底は で,次元は である.
最終更新日:2024年9月18日