EaX+bY=aEX+bEY

2つの確率変数 X Y について

E aX+bY =aE X +bE Y  ・・・・・・(1)

が成り立つ.

■証明

●具体的事例を用いた証明

100円硬貨と500円硬貨を同時に投げ,表がでた硬貨をもらえるとする.100円硬貨のでた面の状態を確率変数Xとする.表がでたら確率変数Xの値を1,裏がでたら確率変数Xの値を0とする. 500円硬貨のでた面の状態を確率変数Yとする.表がでたら確率変数Yの値を1,裏がでたら確率変数Yの値を0とする.

X=1,0 となる. x 1 =1 x 2 =0 とする.

Y=1,0 となる. y 1 =1 y 2 =0 とする.

この試行で生じる事象は

事象1:100円硬貨が表,500円硬貨が表

事象2:100円硬貨が表,500円硬貨が裏

事象3:100円硬貨が裏,500円硬貨が表

事象4:100円硬貨が裏,500円硬貨が裏

の4通りである.確率関数 h x i , y j

h x i , y j =P X= x i Y= y j

と定義すると,各事象の生じる確率は

事象1の場合: P X= x 1 ,Y= y 1 =h x 1 , y 1 = 1 2 × 1 2 = 1 4

事象2の場合: P X= x 1 ,Y= y 2 =h x 1 , y 2 = 1 2 × 1 2 = 1 4

事象1の場合: P X= x 2 ,Y= y 1 =h x 2 , y 1 =h x 2 , y 2 = 1 2 × 1 2 = 1 4

事象1の場合: P X= x 2 ,Y= y 2 = 1 2 × 1 2 = 1 4

となる.この試行で得られる金額の期待値 μ

μ= 100+500 × 1 4 + 100+0 × 1 4 + 0+500 × 1 4 + 0+0 × 1 4

=100× 1 4 +500× 1 4 +100× 1 4 +0× 1 4 +0× 1 4 +500× 1 4 +0× 1 4 +0× 1 4

= 100× 1 4 +100× 1 4 +0× 1 4 +0× 1 4 + 500× 1 4 +0× 1 4 +500× 1 4 +0× 1 4

=100× 1 4 + 1 4 +0× 1 4 + 1 4 +500× 1 4 + 1 4 +0× 1 4 + 1 4

=100× 1 2 +0× 1 2 +500× 1 2 +0× 1 2

=50+250

=300

となる.

上記の計算過程を, XYxiyj などを使って表現すると

E 100X+500Y = i=1 2 j=1 2 100 x i +500 y j h x i , y j

= i=1 2 100 x i +500 y 1 h x i , y 1 + 100 x i +500 y 2 h x i , y 2

= 100 x 1 +500 y 1 h x 1 , y 1 + 100 x 1 +500 y 2 h x 1 , y 2 + 100 x 2 +500 y 1 h x 2 , y 1 + 100 x 2 +500 y 2 h x 2 , y 2

=100 x 1 h x 1 , y 1 +500 y 1 h x 1 , y 1 +100 x 1 h x 1 , y 2 +500 y 2 h x 1 , y 2 +100 x 2 h x 2 , y 1 +500 y 1 h x 2 , y 1 +100 x 2 h x 2 , y 2 +500 y 2 h x 2 , y 2

=100 x 1 h x 1 , y 1 +100 x 1 h x 1 , y 2 +100 x 2 h x 2 , y 1 +100 x 2 h x 2 , y 2 +500 y 1 h x 1 , y 1 +500 y 1 h x 2 , y 1 +500 y 2 h x 1 , y 2 +500 y 2 h x 2 , y 2

= i=1 2 j=1 2 100 x i h x i , y j + i=1 2 j=1 2 500 y j h x i , y j

= i=1 2 100 x i j=1 2 h x i , y j + j=1 2 500 y j i=1 2 h x i , y j

ここで

j=1 2 h x i , y j = j=1 2 P X= x i ,Y= y j =P X= x i =f x i

i=1 2 h x i , y j = i=1 2 P X= x i ,Y= y j =P Y= y i =g y j

と式変形をして,確率関数 f x g x を新たに導入する.

= i=1 2 100 x i f x i + i=1 2 500 y i g y i

=100 i=1 2 x i f x i +500 i=1 2 y i g y i

=100E X +500E Y  ・・・・・・(2)

(2)は(1)と同じ式になっている.

●一般化した証明

E aX+bY = i=1 n j=1 m a x i +b y j h x i , y j

= i=1 n j=1 m a x i h x i , y j + i=1 n j=1 m b y j h x i , y j

= i=1 n a x i j=1 m h x i , y j + j=1 m b y j i=1 n h x i , y j

= i=1 n a x i f x i + j=1 m b y j g y j

=a i=1 n x i f x i +b j=1 m y j g y j

=aE X +bE Y

◆別解

E aX+bY =E aX +E bY

(∵  E X+Y =E X +E Y  ここを参照)

=aE X +bE Y

(∵  E aX =aE X  (ここを参照) )

 

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最終更新日: 2024年2月24日