標本共分散の期待値

母集団の変量 $X$ ， $Y$ ，それぞれの母平均を $μ_{x}$ ， $μ_{y}$ ，母共分散を $σ_{x y}$ とする．標本として $n$ 個の $x$ と $y$ の組を取り出したときの標本共分散の期待値は $\frac{n - 1}{n} σ_{x y}$ になる．

■導出

母集団の中から、 $x$ と $y$ の組の $n$ 個の標本を取り出す（取り出した標本は，すぐに母集団に戻し，次の標本を取り出す復元抽出）試行を考える．

1回目の試行で取り出したデータを

$(x_{11}, y_{11})$ ， $(x_{12}, y_{12})$ ， $\dots$ ， $(x_{1 n}, y_{1 n})$

2回目の試行で取り出したデータを

$(x_{21}, y_{21})$ ， $(x_{22}, y_{22})$ ， $\dots$ ， $(x_{2 n}, y_{2 n})$

$i$ 回目の試行で取り出したデータを

$(x_{i 1}, y_{i 1})$ ， $(x_{i 2}, y_{i 2})$ ， $\dots$ ， $(x_{i n}, y_{i n})$

と表記する．

各試行( $i$ 回目)の試行で得られた $x_{i 1}$ ， $y_{i 1}$ ， $x_{i 2}$ ， $y_{i 2}$ ， $\dots$ ， $x_{i n}$ ， $y_{i n}$ が生じる各確率は一定の確率で表されるので確率変数になる．それらの確率変数を $X_{1}$ ， $Y_{1}$ ， $X_{2}$ ， $Y_{2}$ ， $\dots$ ， $X_{n}$ ， $Y_{n}$ とする．また，各試行の標本の変量 $X$ の平均を $μ_{x (i)}$ ，変量 $Y$ の平均を $μ_{y (i)}$ ，共分散を $σ_{x y (i)}$ とする． $μ_{x (i)}$ ， $μ_{y (i)}$ ， $σ_{x y (i)}$ も確率変数となり，それぞれを， $M$ ， $N$ ， $T_{X Y}$ で表すことにする．以上の内容を表でまとめると以下のようになる．

試行	$X_{1}$	$Y_{1}$	$X_{2}$	$Y_{2}$	･･･	$X_{j}$	$Y_{j}$	･･･	$X_{n}$	$Y_{n}$	$M$	$N$	$T_{X Y}$
1回目	$x_{11}$	$y_{11}$	$x_{12}$	$y_{12}$	･･･	$x_{1 j}$	$x_{1 j}$	･･･	$x_{1 n}$	$y_{1 n}$	$μ_{x (1)}$	$μ_{y (1)}$	$σ_{x y (1)}$
2回目	$x_{21}$	$y_{21}$	$x_{22}$	$y_{22}$	･･･	$x_{2 j}$	$x_{2 j}$	･･･	$x_{2 n}$	$y_{2 n}$	$μ_{x (2)}$	$μ_{y (2)}$	$σ_{x y (2)}$
$⋮$	$⋮$	$⋮$	$⋮$	$⋮$	$⋮$	$⋮$	$⋮$	$⋮$	$⋮$	$⋮$	$⋮$	$⋮$	$⋮$
$i$ 回目	$x_{i 1}$	$y_{i 1}$	$x_{i 2}$	$y_{i 2}$	･･･	$x_{i j}$	$x_{i j}$	･･･	$x_{i n}$	$y_{i n}$	$μ_{x (i)}$	$μ_{y (i)}$	$σ_{x y (i)}$
$⋮$	$⋮$	$⋮$	$⋮$	$⋮$	$⋮$	$⋮$	$⋮$	$⋮$	$⋮$	$⋮$	$⋮$	$⋮$	$⋮$
期待値	$E (X_{1})$	$E (Y_{1})$	$E (X_{2})$	$E (Y_{2})$	･･･	$E (X_{j})$	$E (Y_{j})$	･･･	$E (X_{n})$	$E (Y_{n})$	$E (M)$	$E (N)$	$E (T_{X Y})$

$μ_{x (i)} = \frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} x_{i j}$ ･･････(1)

$μ_{y (i)} = \frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} y_{i j}$ ･･････(2)

$σ_{x y (i)} = \frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} (x_{i j} - μ_{x (i)}) (y_{i j} - μ_{y (i)})$ ･･････(3)

(1)，(2)，(3)を確率変数で表わすと

$M = \frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} X_{j}$ ･･････(4)

$N = \frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} Y_{j}$ ･･････(5)

$T_{X Y} = \frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} (X_{j} - M) (Y_{j} - N)$ ･･････(6)

となる．

変量 $X$ 母平均を $μ_{x}$ ，変量 $Y$ 母平均を $μ_{y}$ ，母共分散を $σ_{x y}$ とすると，前提条件より

$E (X_{j}) = μ_{X}$ ･･････(7)

$E (Y_{j}) = μ_{Y}$ ･･････(8)

$E ((X_{j} - μ_{x}) (Y_{j} - μ_{y}))$ $= C (X_{j}, Y_{j}) = σ_{x y}$ ･･････(9)

である．

確率変数 $T_{X Y}$ の期待値を，(7)，(8)，(9)の関係を用いて，母共分散を $σ_{x y}$ を用いて表すことを試みる．

ます，(6)の右辺の式変形をする．

$\frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} (X_{j} - M) (Y_{j} - N)$ $\frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} \{(X_{j} - μ_{x}) - (M - μ_{x})\} \{(j_{i} - μ_{y}) - (N - μ_{y})\}$

$= \frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} ((X_{j} - μ_{x}) (Y_{j} - μ_{x}) - (M - μ_{x}) (Y_{j} - μ_{y})$ $- (X_{j} - μ_{x}) (N - μ_{y}) + (M - μ_{x}) (N - μ_{y}))$

$= \frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} (X_{j} - μ_{x}) (Y_{j} - μ_{y})$ $- \frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} (M - μ_{x}) (Y_{j} - μ_{y})$ $- \frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} (X_{j} - μ_{x}) (N - μ_{y})$ $+ \frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} (M - μ_{x}) (N - μ_{y})$

紛らわしいのを避けるため，(4)より $M = \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} X_{k}$ ，(5)より $N = \frac{1}{n} \sum_{l = 1}^{n} Y_{l}$ と考えると． $(M - μ_{x})$ ， $(N - μ_{y})$ は $\sum_{j = 1}^{n}$ の外にくくり出せる．

$= \frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} (X_{j} - μ_{x}) (Y_{j} - μ_{y})$ $- (M - μ_{x}) \frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} (Y_{j} - μ_{y})$ $- (N - μ_{y}) \frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} (X_{j} - μ_{x})$ $+ (M - μ_{x}) (N - μ_{y}) \frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} 1$

第2項，第3項，第4項を別途計算する．

$(M - μ_{x}) \frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} (Y_{j} - μ_{y})$ $= (M - μ_{x}) (\frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} Y_{j} - \frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} μ_{y})$

$= (M - μ_{x}) (N - μ_{y})$

$(N - μ_{y}) \frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} (X_{j} - μ_{x})$ $= (N - μ_{y}) (\frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} X_{j} - \frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} μ_{x})$

$= (N - μ_{y}) (M - μ_{x})$

$(M - μ_{x}) (N - μ_{y}) \frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} 1$ $= (M - μ_{x}) (N - μ_{y})$

$= \frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} (X_{j} - μ_{x}) (Y_{j} - μ_{y})$ $- (M - μ_{x}) (N - μ_{y})$ $- (N - μ_{y}) (M - μ_{x})$ $+ (M - μ_{x}) (N - μ_{y})$

$= \frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} (X_{j} - μ_{x}) (Y_{j} - μ_{y})$ $- (M - μ_{x}) (N - μ_{y})$

第2項を別途計算する．

$(M - μ_{x}) (N - μ_{y})$ $= (\frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} X_{k} - μ_{x}) (\frac{1}{n} \sum_{l = 1}^{n} Y_{l} - μ_{y})$

$= (\frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} X_{k} - \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} μ_{x}) (\frac{1}{n} \sum_{l = 1}^{n} Y_{l} - \frac{1}{n} \sum_{l = 1}^{n} μ_{y})$

$= (\frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} (X_{k} - μ_{x})) (\frac{1}{n} \sum_{l = 1}^{n} (Y_{l} - μ_{y}))$

$= \frac{1}{n^{2}} (\sum_{k = 1}^{n} (X_{k} - μ_{x})) (\sum_{l = 1}^{n} (Y_{l} - μ_{y}))$

$= \frac{1}{n^{2}} \sum_{k = 1}^{n} \sum_{l = 1}^{n} (X_{k} - μ_{x}) (Y_{l} - μ_{y})$

$= \frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} (X_{j} - μ_{x}) (Y_{j} - μ_{y})$ $- \frac{1}{n^{2}} \sum_{k = 1}^{n} \sum_{l = 1}^{n} (X_{k} - μ_{x}) (Y_{l} - μ_{y})$

この結果より

$E (T_{X Y}) = E (\frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} (X_{j} - μ_{x}) (Y_{j} - μ_{y}) - \frac{1}{n^{2}} \sum_{k = 1}^{n} \sum_{l = 1}^{n} (X_{k} - μ_{x}) (Y_{l} - μ_{y}))$

$= E (\frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} (X_{j} - μ_{x}) (Y_{j} - μ_{y}))$ $- E (\frac{1}{n^{2}} \sum_{k = 1}^{n} \sum_{l = 1}^{n} (X_{k} - μ_{x}) (Y_{l} - μ_{y}))$

$= \frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} E ((X_{j} - μ_{x}) (Y_{j} - μ_{y}))$ $- \frac{1}{n^{2}} \sum_{k = 1}^{n} \sum_{l = 1}^{n} E ((X_{k} - μ_{x}) (Y_{l} - μ_{y}))$

$= \frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} C (X_{j}, Y_{j})$ $- \frac{1}{n^{2}} \sum_{k = 1}^{n} \sum_{l = 1}^{n} C (X_{k}, Y_{l})$

k = l

のとき，(9)より

$C (X_{k}, Y_{l}) = σ_{x y}$

k \neq l

のとき，

X_{k}

と

Y_{l}

は互いに独立である．よって

$C (X_{k}, Y_{l}) = 0$ (ここを参照)

備考： $\sum_{k = 1}^{n} \sum_{l = 1}^{n} C (X_{k}, Y_{l})$ において， $k = l$ となるのは $n$ 回である．

$= \frac{1}{n} n σ_{x y} - \frac{1}{n^{2}} n σ_{x y}$

$= σ_{x y} - \frac{1}{n} n σ_{x y}$

$= \frac{n - 1}{n} σ_{x y}$

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最終更新日： 2026年5月12日