$F$ 分布

連続型確率変数 ${\displaystyle X}$ が，確率密度関数

${\displaystyle f\left(x\right)=\frac{\Gamma \left(\frac{n_1+n_2}{2}\right)}{\Gamma \left(\frac{n_1}{2}\right)\Gamma \left(\frac{n_2}{2}\right)}{\left(\frac{n_1}{n_2}\right)}^{\frac{n_1}{2}}{x}^{\frac{n_1}{2}-1}{\left(1+\frac{n_1}{n_2}x\right)}^{-\frac{n_1+n_2}{2}}}$ ${\displaystyle \left(x\geqq 0;n_1,n_2=1,2,3,\cdot \cdot \cdot \right)}$

をもつとき， ${\displaystyle X}$ は自由度 $\left(n_1,n_2\right)$ の F分布 $$ $F\left(n_1,n_2\right)$ に従うという．

確率変数 ${\displaystyle X}$ が自由度 $\left(n_1,n_2\right)$ のF分布 $F\left(n_1,n_2\right)$ に従うとき

平均： ${\displaystyle E\left(X\right)=\frac{n_2}{n_2-2}\left(n_2\geqq 3\right)}$

分散： ${\displaystyle V\left(X\right)=\frac{2n^2\left(n_1+n_2-2\right)}{n_1{\left(n_2-2\right)}^2\left(n_2-4\right)}}$ ${\displaystyle \left(n_2\geqq 5\right)}$

が成立する．

■性質

• ${\displaystyle F\left(n_1,n_2\right)}$ の確率密度関数を ${\displaystyle f_{n_1,n_2}\left(x\right)}$ とおくとき，正の定数 ${\displaystyle a}$ について

  ${\displaystyle {{\displaystyle \int }}_a^{+\infty }{f}_{n_1,n_2}\left(x\right)dx={{\displaystyle \int }}_0^{\frac{1}{a}}{f}_{n_2,n_1}\left(x\right)dx}$

  が成立する．
• 確率変数 ${\displaystyle X}$ が ${\displaystyle F\left(n_1,n_2\right)}$ に従うとき，確率変数 ${\displaystyle \frac{1}{X}}$ は ${\displaystyle F\left(n_2,n_1\right)}$ に従う．

• 確率変数 $X$ ， $Y$ が互いに独立で，それぞれ自由度 $n_1$ ， $n_2$ の ${\displaystyle {\chi }^2}$ 分布に従っているとき

  ${\displaystyle F=\frac{\frac{X}{n_1}}{\frac{Y}{n_2}}}$

  は自由度 ${\displaystyle \left(n_1,n_2\right)}$ のF分布に従う．

• $X$ を自由度 ${\displaystyle \left(n_1,n_2\right)}$ の $F$ 分布に従う確率変数とする． ${\displaystyle \alpha \left(0\leqq \alpha \leqq 1\right)}$ に対して

  ${\displaystyle P\left(X\geqq F_{n_1,n_2}\left(\alpha \right)\right)=\alpha }$

  とするとき

  ${\displaystyle F_{n_1,n_2}\left(\alpha \right)=\frac{1}{F_{n_2,n_1}\left(1-\alpha \right)}}$

  が成立する．

■ $F$ 分布の確率密度関数

右上のスライダーの○印を動かすことにより自由度 $n_1$ ， $n_2$ を変更することができる．

■Excel教材

$F$ 分布の理解を深めるための教材をマイクロソフトのExcelで作成しました．⇒Excel教材

　

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最終更新日： 2026年3月11日