正規分布シミュレーション（X, Y, X+Y）

2つの独立な正規分布に従う確率変数 $X$, $Y$ から標本を取り出し，それぞれのヒストグラムと和 $X+Y$ のヒストグラムを作成する教材である．

確率変数 $X$ は平均 $\mu_X$，分散 $\sigma_X^2$ の正規分布 $N(\mu_X, \sigma_X^2)$ に従う．確率変数 $Y$ は平均 $\mu_Y$，分散 $\sigma_Y^2$ の正規分布 $N(\mu_Y, \sigma_Y^2)$ に従う．「実行」ボタンを押すたびに $X$, $Y$ を指定した個数だけ独立に取り出し， $X$，$Y$，および $X+Y$ のヒストグラム（相対度数）に反映する．ボタンを繰り返し押すことで，ヒストグラムが理論的な正規分布の密度曲線（緑）に近づいていく様子を観察できる．

$\mu_X$ :

$\sigma_X^2$ :

$\mu_Y$ :

$\sigma_Y^2$ :

1回の実行で取り出す個数 :

※ $\mu_X, \sigma_X^2, \mu_Y, \sigma_Y^2$ を変更するとヒストグラムはリセットされる．

直近に取り出した値 : X = － Y = － X + Y = －累計取り出し回数 : 0

X のヒストグラム

相対度数 $N(\mu_X, \sigma_X^2)$

標本平均

—

理論平均 $\mu_X$

2.000

標本分散

—

理論分散 $\sigma_X^2$

9.000

Y のヒストグラム

相対度数 $N(\mu_Y, \sigma_Y^2)$

標本平均

—

理論平均 $\mu_Y$

3.000

標本分散

—

理論分散 $\sigma_Y^2$

14.000

X + Y のヒストグラム

相対度数 $N(\mu_X+\mu_Y,\ \sigma_X^2+\sigma_Y^2)$

標本平均

—

理論平均

5.000

標本分散

—

理論分散

23.000

学習のポイント

正規分布の確率密度関数

$$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\!\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)$$

ヒストグラムの縦軸は各区間（ビン）の相対度数である．区間の幅を $w$ とすると，相対度数はおよそ $f(x)\,w$ に一致するため，緑の曲線は密度関数に区間幅 $w$ を掛けたものを描いている．

和の分布 — $X$ と $Y$ が独立な正規分布に従うとき，和 $X+Y$ もまた正規分布に従い，平均は $\mu_X+\mu_Y$，分散は $\sigma_X^2+\sigma_Y^2$ となる（標準偏差は分散の平方根であり，単純な和にはならない点に注意する）．

大数の法則 — 「実行」ボタンを繰り返し押して取り出す標本の数を増やすほど， 3つのヒストグラムはそれぞれの理論的な正規分布（緑の曲線）に近づいていく． 1回の実行で取り出す個数を大きくすると，少ない操作回数で素早く分布の形を確認できる．