多変量正規分布

連続的な確率変数 ${\displaystyle X_1}$ ， ${\displaystyle X_2}$ ，･･･， ${\displaystyle X_p}$ の同時確率密度関数が 

で与えられるとき， ${\displaystyle X}$ は多変量正規分布 ${\displaystyle N_p\left(\mu ,\Sigma \right)}$ に従うという．

■導出

●前提条件

確率変数 $Y_1$ ， $Y_2$ ，･･･， $Y_p$ は，互いに独立で

${\displaystyle Y_i\sim N\left(0,1\right)}$   ･･････(2)

ただし， ${\displaystyle i=1,2,\cdots ,p}$

とする．

$Y_1$ ， $Y_2$ ，･･･， $Y_p$ から以下の式で確率変数の変換を行って確率変数 $X_1$ ， $X_2$ ，･･･， $X_p$ を作る．

${\displaystyle X=AY+\mu }$   ･･････(3)

ただし

• ･･･(4)，

• ${\displaystyle X=\left(\begin{array}{c}{X}_1\\ X_2\\ ⋮\\ X_p\end{array}\right)}$   ･･････(5)

• ${\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1p}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2p}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{p1}& a_{p2}& \cdots & a_{pp}\end{array}\right)}$   ･･･(6)，

• ${\displaystyle \mu =\left(\begin{array}{c}{\mu }_1\\ {\mu }_2\\ ⋮\\ {\mu }_p\end{array}\right)}$   ･･･(7)

● ${\displaystyle X}$ の確率密度関数の計算

次に， $Y_1$ ， $Y_2$ ，･･･， $Y_p$ の同時確率密度関数 ${\displaystyle g\left(y_1,y_2,\cdots ,y_p\right)}$ を求める．

$Y_i$ の確率密度関数は(2)より

${\displaystyle f_i\left(y_i\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{1}{2}{y}_i^2}}$   ･･････(11)

$Y_1$ ， $Y_2$ ，･･･， $Y_p$ が互いに 独立より

${\displaystyle g\left(y_1,y_2,\cdots ,y_p\right)}$ ${\displaystyle =f_1\left(y_1\right)f_2\left(y_2\right)\cdots f_p\left(y_p\right)}$

${\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{1}{2}{y}_1^2}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{1}{2}{y}_2^2}\cdots \frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{1}{2}{y}_p^2}}$

${\displaystyle =\frac{1}{{\left(2\pi \right)}^{p/2}}{e}^{-\frac{1}{2}\left(y_1^2+y_2^2+\cdots +y_p^2\right)}}$   ･･････(12)

となる．

$X_1$ ， $X_2$ ，･･･， $X_p$ の同時確率密度関数を ${\displaystyle p\left(x_1,x_2,\cdots ,x_p\right)}$ とする． ${\displaystyle Y}$ の領域 ${\displaystyle D_y}$ が(3)の変換によって ${\displaystyle X}$ 領域 ${\displaystyle D_x}$ に変換されたとする．

${\displaystyle P\left(Y\in D_y\right)=P\left(X\in D_x\right)}$   ･･････(13)

の関係より

${\displaystyle {\displaystyle {\int }_{D_y}g\left(y_1,y_2,\cdots ,y_p\right)d{y}_{1}d{y}_2\cdots d{y}_p}}$ ${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_{D_x}p\left(x_1,x_2,\cdots ,x_p\right)d{x}_{1}d{x}_2\cdots d{x}_p}}$   ･･････(14)

${\displaystyle \left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ ⋮\\ y_p\end{array}\right)=y=A^{-1}\left(x-\mu \right)}$   ･･････(15)  の関係式で変数変換をしている．

となる．(14)の左辺は重積分の計算より

${\displaystyle {\displaystyle {\int }_{D_y}g\left(y_1,y_2,\cdots ,y_p\right)d{y}_{1}d{y}_2\cdots d{y}_p}}$ ${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_{D_x}g\left(y_1,y_2,\cdots ,y_p\right)\frac{\partial \left(y_1,y_2,\cdots ,y_p\right)}{\partial \left(x_1,x_2,\cdots ,x_p\right)}d{x}_{1}d{x}_2\cdots d{x}_p}}$   ･･････(16)

となる．(14)，(16)を比較すると

${\displaystyle p\left(x_1,x_2,\cdots ,x_p\right)}$ ${\displaystyle =g\left(y_1,y_2,\cdots ,y_p\right)\left|\frac{\partial \left(y_1,y_2,\cdots ,y_p\right)}{\partial \left(x_1,x_2,\cdots ,x_p\right)}\right|}$   ･･････(17)

となる．一方

${\displaystyle \frac{\partial \left(y_1,y_2,\cdots ,y_p\right)}{\partial \left(x_1,x_2,\cdots ,x_p\right)}=\frac{1}{\frac{\partial \left(x_1,x_2,\cdots ,x_p\right)}{\partial \left(y_1,y_2,\cdots ,y_p\right)}}}$   ･･････(18)

の関係がある．よって

${\displaystyle p\left(x_1,x_2,\cdots ,x_p\right)}$ ${\displaystyle =g\left(y_1,y_2,\cdots ,y_p\right)\frac{1}{\left|\frac{\partial \left(x_1,x_2,\cdots ,x_p\right)}{\partial \left(y_1,y_2,\cdots ,y_p\right)}\right|}}$   ･･････(19)

となる．

${\displaystyle g\left(y_1,y_2,\cdots ,y_p\right)}$ を具体的に計算する．

${\displaystyle y_1^2+y_2^2+\cdots +y_p^2={}^{t}yy}$

${\displaystyle ={}^t\left\{A^{-1}\left(x-\mu \right)\right\}\left\{A^{-1}\left(x-\mu \right)\right\}}$

${\displaystyle ={}^t\left(x-\mu \right){\left({}^{t}A\right)}^{-1}{A}^{-1}\left(x-\mu \right)}$

${\displaystyle ={}^t\left(x-\mu \right){\left(A{}^{t}A\right)}^{-1}\left(x-\mu \right)}$

${\displaystyle ={}^t\left(x-\mu \right){\Sigma }^{-1}\left(x-\mu \right)}$   ･･････(20)

(20)を(12)に代入すると

${\displaystyle g\left(y_1,y_2,\cdots ,y_p\right)}$ ${\displaystyle =\frac{1}{{\left(2\pi \right)}^{p/2}}{e}^{-\frac{1}{2}{}^t\left(x-\mu \right){\Sigma }^{-1}\left(x-\mu \right)}}$   ･･････(21)

また

${\displaystyle \frac{\partial \left(x_1,x_2,\cdots ,x_p\right)}{\partial \left(y_1,y_2,\cdots ,y_p\right)}=\left|A\right|}$   ･･････(22)

${\displaystyle \left|\frac{\partial \left(x_1,x_2,\cdots ,x_p\right)}{\partial \left(y_1,y_2,\cdots ,y_p\right)}\right|={\left|\Sigma \right|}^{1/2}}$   ･･････(23)

(21)，(23)を(19)に代入すると

${\displaystyle p\left(x_1,x_2,\cdots ,x_p\right)}$

${\displaystyle =\frac{1}{{\left(2\pi \right)}^{p/2}{\left|\Sigma \right|}^{1/2}}{e}^{-\frac{1}{2}{}^t\left(x-\mu \right){\Sigma }^{-1}\left(x-\mu \right)}}$

となる．左辺の ${\displaystyle p\left(x_1,x_2,\cdots ,x_p\right)}$ もベクトルを用いた ${\displaystyle p\left(x|\mu ,\Sigma \right)}$ に書き直すと(1)の

${\displaystyle p\left(x|\mu ,\Sigma \right)=\frac{1}{{\left(2\pi \right)}^{p/2}{\left|\Sigma \right|}^{1/2}}{e}^{-\frac{1}{2}{}^t\left(x-\mu \right){\Sigma }^{-1}\left(x-\mu \right)}}$

が得られる．

　

ホーム>>カテゴリー分類>>確率>>統計>>多変量正規分布

最終更新日： 2026年7月22日