2重積分の変数変換

閉領域${\displaystyle D}$ で定義された連続関数${\displaystyle f\left(x,y\right)}$ に対する重積分

${\displaystyle {\iint }_{D}f\left(x,y\right)dxdy}$

を ${\displaystyle x=\phi \left(u,v\right)}$ ，${\displaystyle y=\psi \left(u,v\right)}$ で変数変換する場合， ヤコビアン ${\displaystyle J=\frac{\partial \left(\phi ,\psi \right)}{\partial \left(u,v\right)}\ne 0}$ で${\displaystyle \left(x,y\right)}$ と${\displaystyle \left(u,v\right)}$ が1対1に対応し，${\displaystyle \left(x,y\right)}$の領域 ${\displaystyle D}$ が${\displaystyle \left(u,v\right)}$の領域${\displaystyle D^{\prime }}$ に変換されるならば

${\displaystyle {\displaystyle {\iint }_{D}f\left(x,y\right)dxdy}={\displaystyle {\iint }_{D^{\prime }}f\left(\phi \left(u,v\right),\psi \left(u,v\right)\right)\left|J\right|dudv}}$  

が成り立つ．

■導出

1変数の積分における変数変換として置換積分法について考えると，連続関数 ${\displaystyle f\left(x\right)}$ を ${\displaystyle x=g\left(t\right)}$ の関係に置換したとき

${\displaystyle \int f\left(x\right)dx=\int f\left(g\left(t\right)\right)g^{\prime }\left(t\right)dt}$

である．このときの ${\displaystyle x\left(=g\left(t\right)\right)}$ と ${\displaystyle t}$ の関係は右図のようになる．

ここで，微小区間 ${\displaystyle dt}$ に対応する ${\displaystyle dx}$ を考えると， ${\displaystyle g\left(t\right)}$ は直線に近似できて

${\displaystyle dx=mdt}$

となる．ここで， ${\displaystyle m}$ は直線 ${\displaystyle g\left(t\right)}$ の傾きであるから

${\displaystyle m=\frac{dx}{dt}=g^{\prime }\left(t\right)}$

となり

${\displaystyle dx=g^{\prime }\left(t\right)dt}$　･･････(1)

${\displaystyle x=g\left(t\right)}$ の変換に対して上記の関係が成立するから

${\displaystyle \int f\left(x\right)dx=\int f\left(g\left(t\right)\right)g^{\prime }\left(t\right)dt}$

となる．

ここで，(1)から，積分における変数変換において，変換後の変数 ${\displaystyle t}$ は変換前の変数 ${\displaystyle x}$ の ${\displaystyle g^{\prime }\left(t\right)}$ 倍となることが分かる．これを踏まえて重積分における変数変換を考えると，閉領域 ${\displaystyle D}$ で定義された連続関数 ${\displaystyle f\left(x,y\right)}$ に対する重積分

${\displaystyle {\iint }_{D}f\left(x,y\right)dxdy}$

を ${\displaystyle x=\phi \left(u,v\right),y=\psi \left(u,v\right)}$ で変数変換する．

${\displaystyle x,y}$ の微小変化 ${\displaystyle dx,dy}$ はそれぞれ ${\displaystyle x=\phi \left(u,v\right),y=\psi \left(u,v\right)}$ の全微分となり，

${\displaystyle dx={\phi }_{u}du+{\phi }_{v}dv}$　･･････(2)

${\displaystyle dy={\psi }_{u}du+{\psi }_{v}dv}$　･･････(3)

${\displaystyle uv}$ 平面上の微小面積 ${\displaystyle \Delta S_{uv}}$ を長方形とすると，それに対応する ${\displaystyle xy}$ 平面上の微小面積 ${\displaystyle \Delta S_{xy}}$ は，座標平面における1次変換を各頂点に対して行うと，平行四辺形となる． ⇒導出

更に，1次変換から，微小面積 ${\displaystyle \Delta S_{xy}}$ は ， の作る平行四辺形の面積であるといえる．よって，行列式の幾何学的な意味から${\displaystyle \Delta S_{xy}}$は${\displaystyle \left|\begin{array}{cc}{\varphi }_u\Delta u& {\varphi }_v\Delta v\\ {\psi }_u\Delta u& {\psi }_v\Delta v\end{array}\right|}$の絶対値になる．

${\displaystyle \left|\begin{array}{cc}{\varphi }_u\Delta u& {\varphi }_v\Delta v\\ {\psi }_u\Delta u& {\psi }_v\Delta v\end{array}\right|={\varphi }_u\Delta u{\psi }_v\Delta v-{\psi }_u\Delta u{\varphi }_v\Delta v}$

${\displaystyle =\left({\varphi }_u{\psi }_v-{\psi }_u{\varphi }_v\right)\Delta u\Delta v}$　･･････(4)

ここで， ${\displaystyle {\varphi }_u{\psi }_v-{\psi }_u{\varphi }_v}$ は2行2列の関数行列

${\displaystyle \left(\begin{array}{cc}{\varphi }_u& {\varphi }_v\\ {\psi }_u& {\psi }_v\end{array}\right)}$

の行列式

${\displaystyle \left|\begin{array}{cc}{\varphi }_u& {\varphi }_v\\ {\psi }_u& {\psi }_v\end{array}\right|}$

であるから

${\displaystyle {\varphi }_u{\psi }_v-{\psi }_u{\varphi }_v}$${\displaystyle =\left|\begin{array}{cc}{\varphi }_u& {\varphi }_v\\ {\psi }_u& {\psi }_v\end{array}\right|}$${\displaystyle =\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial \varphi }{\partial u}& \frac{\partial \varphi }{\partial v}\\ \frac{\partial \psi }{\partial u}& \frac{\partial \psi }{\partial v}\end{array}\right|}$${\displaystyle =J}$　･･････(5)

ここで，ヤコビアン ${\displaystyle J}$ は行列式であるから負の値をとることがある．しかし，重積分では必ず変数を小さいほうから大きいほうに向かって積分するように表現するため， ${\displaystyle \Delta x\Delta y}$ は負にならない．従って，一般に表現する場合はヤコビアンに絶対値をつけて， ${\displaystyle \left|J\right|}$ と表す．

(5)によって

${\displaystyle \Delta S_{xy}=\left|J\right|\Delta u\Delta v}$

と表せる．この平行四辺形内に点 ${\displaystyle \left(\xi ,\eta \right)}$ があるとする． ${\displaystyle uv}$ 平面上の長方形の分割数 ${\displaystyle m}$ を限りなく多くしていくと， ${\displaystyle xy}$ 平面上での分割数も限りなく多くなり，重積分の定義から

${\displaystyle V}$${\displaystyle ={\displaystyle {\iint }_D\left(x,y\right)dxdy}}$

${\displaystyle =\underset{m\to \infty }{\lim }{\displaystyle \sum f\left(\xi ,\eta \right)}\Delta S_{xy}}$

${\displaystyle =\underset{m\to \infty }{\lim }{\displaystyle \sum f\left(\xi ,\eta \right)}\left|J\right|\Delta u\Delta v}$

${\displaystyle ={\displaystyle {\iint }_{D^{\prime }}f\left(\varphi \left(u,v\right),\psi \left(u,v\right)\right)}\left|J\right|dudv}$

${\displaystyle \therefore {\displaystyle {\iint }_D\left(x,y\right)dxdy}={\displaystyle {\iint }_{D^{\prime }}f\left(\varphi \left(u,v\right),\psi \left(u,v\right)\right)}\left|J\right|dudv}$

 

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最終更新日： 2026年9月25日