ヤコビアン（Jacobian）

■2変数関数の場合

$x = φ (u, v)$ ， $y = ψ (u, v)$ とし， $φ, ψ$ は $u, v$ で偏微分可能であるとする．

$x, y$ の全微分は

$d x = \frac{\partial φ}{\partial u} d u + \frac{\partial φ}{\partial v} d v$

$d y = \frac{\partial ψ}{\partial u} d u + \frac{\partial ψ}{\partial v} d v$

となる．行列を用いて表すと

$(\begin{matrix} d x \\ d y \end{matrix}) = (\begin{matrix} \frac{\partial φ}{\partial u} & \frac{\partial φ}{\partial v} \\ \frac{\partial ψ}{\partial u} & \frac{\partial ψ}{\partial v} \end{matrix}) (\begin{matrix} d u \\ d v \end{matrix})$

となる．

行列

$(\begin{matrix} \frac{\partial φ}{\partial u} & \frac{\partial φ}{\partial v} \\ \frac{\partial ψ}{\partial u} & \frac{\partial ψ}{\partial v} \end{matrix})$

の行列式

$| \begin{matrix} \frac{\partial φ}{\partial u} & \frac{\partial φ}{\partial v} \\ \frac{\partial ψ}{\partial u} & \frac{\partial ψ}{\partial v} \end{matrix} |$

をヤコビアン（Jacobian）といい， $\frac{\partial (φ, ψ)}{\partial (u, v)}$ で表す．

■3変数関数の場合

$x = φ (u, v, w), y = ψ (u, v, w), z = ω (u, v, w)$ とし， $φ, ψ, ω$ は $u, v, w$ で偏微分可能とする．

$x, y, z$ の全微分は

$d x = \frac{\partial φ}{\partial u} d u + \frac{\partial φ}{\partial v} d v + \frac{\partial φ}{\partial w} d w$

$d y = \frac{\partial ψ}{\partial u} d u + \frac{\partial ψ}{\partial v} d v + \frac{\partial ψ}{\partial w} d w$

$d z = \frac{\partial ω}{\partial u} d u + \frac{\partial ω}{\partial v} d v + \frac{\partial ω}{\partial w} d w$

となる．これを行列を用いて表すと，

$(\begin{array}{l} d x \\ d y \\ d z \end{array}) = (\begin{matrix} \frac{\partial φ}{\partial u} & \frac{\partial φ}{\partial v} & \frac{\partial φ}{\partial w} \\ \frac{\partial ψ}{\partial u} & \frac{\partial ψ}{\partial v} & \frac{\partial ψ}{\partial w} \\ \frac{\partial ω}{\partial u} & \frac{\partial ω}{\partial v} & \frac{\partial ω}{\partial w} \end{matrix}) (\begin{matrix} d u \\ d v \\ d w \end{matrix})$

行列

$(\begin{matrix} \frac{\partial φ}{\partial u} & \frac{\partial φ}{\partial v} & \frac{\partial φ}{\partial w} \\ \frac{\partial ψ}{\partial u} & \frac{\partial ψ}{\partial v} & \frac{\partial ψ}{\partial w} \\ \frac{\partial ω}{\partial u} & \frac{\partial ω}{\partial v} & \frac{\partial ω}{\partial w} \end{matrix})$

の行列式

$| \begin{matrix} \frac{\partial φ}{\partial u} & \frac{\partial φ}{\partial v} & \frac{\partial φ}{\partial w} \\ \frac{\partial ψ}{\partial u} & \frac{\partial ψ}{\partial v} & \frac{\partial ψ}{\partial w} \\ \frac{\partial ω}{\partial u} & \frac{\partial ω}{\partial v} & \frac{\partial ω}{\partial w} \end{matrix} |$

をヤコビアン（Jacobian）といい， $\frac{\partial (φ, ψ, ω)}{\partial (u, v, w)}$ で表す．

■一般に

n変数関数の場合，行列を用いて表すと，

$(\begin{matrix} f_{1} \\ ⋮ \\ f_{n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}} & \dots & \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{n}} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ \frac{\partial f_{n}}{\partial x_{1}} & \dots & \frac{\partial f_{n}}{\partial x_{n}} \end{matrix}) (\begin{matrix} d x_{1} \\ ⋮ \\ d x_{n} \end{matrix})$

行列

$(\begin{matrix} \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}} & \dots & \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{n}} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ \frac{\partial f_{n}}{\partial x_{1}} & \dots & \frac{\partial f_{n}}{\partial x_{n}} \end{matrix})$

の行列式

$| \begin{matrix} \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}} & \dots & \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{n}} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ \frac{\partial f_{n}}{\partial x_{1}} & \dots & \frac{\partial f_{n}}{\partial x_{n}} \end{matrix} |$

をヤコビアン（Jacobian）といい， $\frac{\partial (f_{1} \dots, f_{n})}{\partial (x_{1} \dots, x_{n})}$ で表す．

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最終更新日： 2016年12月14日