重積分における変数変換

• 2重積分の変数変換

  ${\displaystyle x=x\left(u,v\right)}$ ，${\displaystyle y=y\left(u,v\right)}$，${\displaystyle \left(x,y\right)\in D}$ ，${\displaystyle \left(u,v\right)\in D^{\prime }}$

  によって$uv$ 平面の集合$D^{\prime }$ が$xy$ 平面の集合${\displaystyle D}$ に1対1に移るとすれば

  ${\displaystyle {\displaystyle {\iint }_{D}f\left(x,y\right)dxdy}}$${\displaystyle ={\displaystyle {\iint }_{D^{\prime }}f\left(x\left(u,v\right),y\left(u,v\right)\right)\left|J\right|dudv}}$

  の関係がある．⇒ 導出

• 3重積分の変数変換

  ${\displaystyle x=x\left(u,v,w\right)}$ ，${\displaystyle y=y\left(u,v,w\right)}$ ，${\displaystyle z=z\left(u,v,w\right)}$ ，${\displaystyle \left(x,y,z\right)\in D}$ ，${\displaystyle \left(u,v,w\right)\in D^{\prime }}$

  によって$uvw$ 空間の集合$D^{\prime }$ が$xyz$ 空間の集合${\displaystyle D}$ に1対1に移るとすれば

  ${\displaystyle {\displaystyle {\iiint }_{D}f\left(x,y,z\right)dxdydz}}$${\displaystyle ={\displaystyle {\iiint }_{D^{\prime }}f\left(x\left(u,v,w\right),y\left(u,v,w\right),z\left(u,v,w\right)\right)\left|J\right|dudvdw}}$

  の関係がある．

• 座標変換の関数行列式

  ${\displaystyle x=rcos\theta }$，${\displaystyle y=rsin\theta }$のとき${\displaystyle \frac{\partial \left(x,y\right)}{\partial \left(r,\theta \right)}=r}$

  ${\displaystyle x=rcos\theta }$，${\displaystyle y=rsin\theta }$，${\displaystyle z=z}$のとき${\displaystyle \frac{\partial \left(x,y,z\right)}{\partial \left(r,\theta ,z\right)}=r}$

  ${\displaystyle x=rsin\theta cos\phi }$，${\displaystyle y=rsin\theta sin\phi }$，${\displaystyle z=rcos\theta }$のとき${\displaystyle \frac{\partial \left(x,y,z\right)}{\partial \left(r,\theta ,\phi \right)}=r^{2}sin\theta }$

• 極座標に関する2重積分

${\displaystyle x=rcos\theta }$，${\displaystyle y=rsin\theta }$　${\displaystyle \left(r\geqq 0\right)}$によって${\displaystyle r\theta }$平面の集合$D^{\prime }$ が$xy$ 平面の集合${\displaystyle D}$に1対1に移れば

${\displaystyle {\iint }_{D}f\left(x,y\right)dxdy}$${\displaystyle ={\iint }_{D^{\prime }}f\left(rcos\theta ,rsin\theta \right)rdrd\theta }$

の関係がある．

• 円柱座標に関する3重積分

  ${\displaystyle x=rcos\theta }$，${\displaystyle y=rsin\theta }$，${\displaystyle z=z}$　${\displaystyle \left(r\geqq \theta \right)}$によって集合${\displaystyle D^{\prime }}$の要素${\displaystyle \left(r,\theta ,z\right)}$が集合${\displaystyle D}$の要素${\displaystyle \left(x,y,z\right)}$に1対1の対応で移るとき

  ${\displaystyle {\iiint }_{D}f\left(x,y,z\right)dxdydz}$${\displaystyle ={\iiint }_{D^{\prime }}f\left(rcos\theta ,rsin\theta ,z\right)rdrd\theta dz}$

  の関係がある．

• 球座標に関する3重積分

${\displaystyle x=r\sin \theta \cos \varphi }$， ${\displaystyle y=r\sin \theta \sin \varphi }$， ${\displaystyle z=r\cos \theta }$　 ${\displaystyle \left(r\geqq 0,0\leqq \theta \leqq \pi ,0\leqq \varphi \leqq 2\pi \right)}$ によって集合${\displaystyle D^{\prime }}$の要素${\displaystyle \left(r,\theta ,\phi \right)}$が集合${\displaystyle D}$の要素${\displaystyle \left(x,y,z\right)}$に1対1の対応で移るとき

${\displaystyle {\displaystyle {\iiint }_{D}f\left(x,y,z\right)dxdydz}}$${\displaystyle ={\displaystyle {\iiint }_{D^{\prime }}f\left(r\sin \theta \cos \varphi ,r\sin \theta \sin \varphi ,r\cos \theta \right)r^2\sin \theta drd\theta d\varphi }}$

の関係がある．

 

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最終更新日： 2024年10月7日