不偏共分散

不偏共分散 ${\displaystyle s_{xy}}$ とは，母集団から変量 $X$， $Y$ の組の標本を取り出したとき，標本データのばらつき具合から 母集団の共分散を推定するための量である。 ${\displaystyle n}$ 個の標本データの組が ${\displaystyle \left(x_1,y_1\right)}$， ${\displaystyle \left(x_2,y_2\right)}$，･･･， ${\displaystyle \left(x_n,y_n\right)}$ のとき，次式で定義される。 （和記号Σ参照）

${\displaystyle s_{xy}=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n\left(x_i-\overline{x}\right)\left(y_i-\overline{y}\right)}$

ただし，${\displaystyle \overline{x}=\frac{1}{n}{\displaystyle \sum }_{i=1}^n{x}_i}$ ，${\displaystyle \overline{y}=\frac{1}{n}{\displaystyle \sum }_{i=1}^n{y}_i}$

$n$ で割るのではなく $n-1$ で割っていることに注意

■考え方

標本の共分散 ${\displaystyle {\sigma }_{xy\left(s\right)}}$ の期待値 ${\displaystyle E\left(T_{XY}\right)}$ を母共分散 ${\displaystyle {\sigma }_{xy}}$ を使って表すと

${\displaystyle E\left(T_{XY}\right)=\frac{n-1}{n}{\sigma }_{xy}}$ 　（ここを参照）

よって

${\displaystyle {\sigma }_{xy}=\frac{n}{n-1}E\left(T_{XY}\right)}$

となり，標本の共分散

${\displaystyle {\sigma }_{xy\left(s\right)}=\frac{1}{n}{\displaystyle \sum }_{i=1}^n\left(x_i-\overline{x}\right)\left(y_i-\overline{y}\right)}$

に ${\displaystyle \frac{n}{n-1}}$ を掛けた

${\displaystyle \frac{n}{n-1}\left\{\frac{1}{n}{\displaystyle \sum _{i=1}^n\left(x_i-\overline{x}\right)}\left(y_i-\overline{y}\right)\right\}}$ ${\displaystyle =\frac{1}{n-1}{\displaystyle \sum _{i=1}^n\left(x_i-\overline{x}\right)}\left(y_i-\overline{y}\right)}$

を不偏共分散 $s_{xy}$

${\displaystyle s_{xy}=\frac{1}{n-1}{\displaystyle \sum _{i=1}^n\left(x_i-\overline{x}\right)}\left(y_i-\overline{y}\right)}$

と定義している．

このように定義すると，不偏共分散 ${\displaystyle s_{xy}}$ の期待値が母共分散 ${\displaystyle {\sigma }_{xy}}$ と一致することになり，この不偏共分散 ${\displaystyle s_{xy}}$ は，母共分散${\displaystyle {\sigma }_{xy}}$を推定するのに使われる．

 

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最終更新日： 2026年5月12日