平方完成の具体例

1. ${\displaystyle y=x^2+2x+3}$
2. ${\displaystyle y=x^2-3x+9}$
3. ${\displaystyle y=2x^2+5x+7}$
4. ${\displaystyle y=5x^2-8x+12}$

■具体例1の平方完成の計算

${\displaystyle y=x^2+2x+3}$

${\displaystyle {\left(x+○\right)}^2}$ の項を作るために ${\displaystyle x}$ の項を ${\displaystyle 2·○·x}$ の形に変形する．

${\displaystyle =x^2+2\cdot 1\cdot x+3}$

さらに ${\displaystyle x^2+2\cdot 1\cdot x}$ の後に， $+1^2-1^2$ を挿入する．（ ${\displaystyle 1^2-1^2=0}$ であるので，上式と値は変化しない ）

${\displaystyle =\left(x^2+2\cdot 1\cdot x+1^2\right)-1^2+3}$

${\displaystyle =\left(x^2+2\cdot 1\cdot x+1^2\right)+2}$

${\displaystyle x^2+2xy+y^2={\left(x+y\right)}^2}$ の関係を利用して式を変形する．

${\displaystyle ={\left(x+1\right)}^2+2}$

■具体例2の平方完成の計算

${\displaystyle y=x^2-3x+9}$

${\displaystyle {\left(x+○\right)}^2}$ の項を作るために ${\displaystyle x}$ の項を ${\displaystyle 2·○·x}$ の形に変形する．

${\displaystyle =x^2-2·\frac{3}{2}x+9}$

さらに， ${\displaystyle x^2-2·\frac{3}{2}x}$ の後に， ${\displaystyle +{\left(\frac{3}{2}\right)}^2-{\left(\frac{3}{2}\right)}^2}$ を挿入する．（ ${\displaystyle {\left(\frac{3}{2}\right)}^2-{\left(\frac{3}{2}\right)}^2=0}$ であるので，上式と値は変化しない ）

${\displaystyle x^2-2xy+y^2={\left(x-y\right)}^2}$ の関係を利用して式を変形する．

${\displaystyle ={\left(x-\frac{3}{2}\right)}^2+\frac{27}{4}}$

具体例3の平方完成の計算

${\displaystyle y=2x^2+5x+7}$

${\displaystyle x}$ の2次の項の係数 $2$ で ${\displaystyle x}$ の2次の項と1次の項をくくる

${\displaystyle =2\left(x^2+\frac{5}{2}x\right)+7}$

${\displaystyle {\left(x+○\right)}^2}$ の項を作るために ${\displaystyle x}$ の項を ${\displaystyle 2·○·x}$ の形に変形する．

${\displaystyle =2\left(x^2+2·\frac{5}{4}x\right)+7}$

さらに， ${\displaystyle x^2-2·\frac{5}{4}x}$ の後に， ${\displaystyle +{\left(\frac{5}{4}\right)}^2-{\left(\frac{5}{4}\right)}^2}$ を挿入する．（ ${\displaystyle {\left(\frac{5}{4}\right)}^2-{\left(\frac{5}{4}\right)}^2=0}$ であるので，上式と値は変化しない ）

$\left\{\right\}$ の中が ${\displaystyle {\left(x-○\right)}^2}$ になるように $\left\{\right\}$ の最後の項 ${\displaystyle -{\left(\frac{5}{4}\right)}^2}$ を $\left\{\right\}$ の外に出す．

${\displaystyle x^2+2xy+y^2={\left(x+y\right)}^2}$ の関係を利用して式を変形する．

${\displaystyle =2{\left(x+\frac{5}{4}\right)}^2-\frac{5^2}{4·2}+7}$

${\displaystyle =2{\left(x+\frac{5}{4}\right)}^2-\frac{5^2-4·2·7}{4·2}}$

${\displaystyle =2{\left(x+\frac{5}{4}\right)}^2+\frac{31}{8}}$

■具体例4の平方完成の計算

${\displaystyle y=5x^2-8x+12}$

${\displaystyle x}$ の2次の項の係数 $5$ で ${\displaystyle x}$ の2次の項と1次の項をくくる

${\displaystyle =5\left(x^2-\frac{8}{5}x\right)+12}$

${\displaystyle {\left(x+○\right)}^2}$ の項を作るために ${\displaystyle x}$ の項を ${\displaystyle 2·○·x}$ の形に変形する．

${\displaystyle =5\left(x^2-2·\frac{4}{5}x\right)+12}$

さらに， ${\displaystyle x^2-2·\frac{4}{5}x}$ の後に， ${\displaystyle +{\left(\frac{4}{5}\right)}^2-{\left(\frac{4}{5}\right)}^2}$ を挿入する．（ ${\displaystyle {\left(\frac{4}{5}\right)}^2-{\left(\frac{4}{5}\right)}^2=0}$ であるので，上式と値は変化しない ）

$\left\{\right\}$ の中が ${\displaystyle {\left(x-○\right)}^2}$ になるように $\left\{\right\}$ の最後の項 ${\displaystyle -{\left(\frac{4}{5}\right)}^2}$ を $\left\{\right\}$ の外に出す．

${\displaystyle =5{\left(x-\frac{4}{5}\right)}^2-\frac{4^2}{5}+12}$

${\displaystyle =5{\left(x-\frac{4}{5}\right)}^2-\frac{4^2-5·12}{5}}$

${\displaystyle =5{\left(x-\frac{4}{5}\right)}^2+\frac{44}{5}}$

　

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最終更新日 2026年10月24日