2次関数の平方完成
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2次関数の平方完成

2次関数を一般形から下記のように変形(平方完成)すると2次関数をよく把握することができる.

y=a x 2 +bx+c

まず, x 2  の係数 a  で x 2  の項と x  の項をくくる.

=a( x 2 + b a x )+c

次に, ( x+ b 2a ) 2  の項を作るために(乗法の公式  ( x+y ) 2 = x 2 +2xy+ y 2 を参照 ), ( )の中に xの係数を2で割り更に2乗した数 ( b 2a ) 2 を加え,差し引き0になるように, ( )の中で  ( b 2a ) 2  を引く.

=a{ x 2 + b a x+ ( b 2a ) 2 ( b 2a ) 2 }+c =a{ x 2 + b a x+ ( b 2a ) 2 }a ( b 2a ) 2 +c

最後に,式を整理する.

=a ( x+ b 2a ) 2 b 2 4a +c =a ( x+ b 2a ) 2 b 2 4ac 4a

この2次関数の x= b 2a で,頂点の座標は  ( b 2a , b 2 4ac 4a )  である.

平方完成の具体例

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最終更新日 2019年3月13日

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