2次関数の平方完成

2次関数の平方完成

2次関数を一般形から下記のように変形（平方完成）すると2次関数をよく把握することができる．

y = a x 2 + b x + c

まず， x 2  の係数 a  で x 2  の項と x  の項をくくる．

= a ( x 2 + b a x ) + c

次に， ( x + b 2 a ) 2  の項を作るために（乗法の公式  ( x + y ) 2 = x 2 + 2 x y + y 2 を参照 ）， （　）の中に x の係数を2で割り更に2乗した数 ( b 2 a ) 2 を加え，差し引き0になるように， （　）の中で  ( b 2 a ) 2  を引く．

= a { x 2 + b a x + ( b 2 a ) 2 − ( b 2 a ) 2 } + c

= a { x 2 + b a x + ( b 2 a ) 2 } − a ( b 2 a ) 2 + c

最後に，式を整理する．

= a ( x + b 2 a ) 2 − b 2 4 a + c

= a ( x + b 2 a ) 2 − b 2 − 4 a c 4 a

この2次関数の軸は x = − b 2 a で，頂点の座標は  ( − b 2 a , − b 2 − 4 a c 4 a )  である．

■具体例

■関連動画

ホーム>>カテゴリー分類>>関数>>2次関数の平方完成

最終更新日 2025年12月17日