方程式の実数解の存在定理

関数 ${\displaystyle y=f\left(x\right)}$ が閉区間 ${\displaystyle \left[a,b\right]}$ において連続で，かつ， ${\displaystyle f\left(a\right)\cdot f\left(b\right)<0}$ ならば，開区間 ${\displaystyle \left(a,b\right)}$ に方程式 ${\displaystyle f\left(x\right)=0}$ の実数解が少なくとも1つの存在する．

■解説

中間値の定理において， ${\displaystyle k=0}$ のときに相当する．

${\displaystyle f\left(a\right)\cdot f\left(b\right)<0}$ ならば， ${\displaystyle f\left(a\right)}$ と ${\displaystyle f\left(b\right)}$ の符号が異なり，関数 ${\displaystyle y=f\left(x\right)}$ が閉区間 ${\displaystyle \left[a,b\right]}$ において連続であると， ${\displaystyle y=f\left(x\right)}$ のグラフは少なくとも1箇所 $x$ 軸と交差することになる．その交点座標の $x$ の値が方程式 ${\displaystyle f\left(x\right)=0}$ の実数解となる．以上の内容を以下に図で示す．

● ${\displaystyle f\left(a\right)>0}$ ， ${\displaystyle f\left(b\right)<0}$ の場合

• 図1　解が ${\displaystyle x_1}$ の1つ

• 図2　解が ${\displaystyle x_1}$ ， ${\displaystyle x_2}$ ， ${\displaystyle x_3}$ の3つ

● ${\displaystyle f\left(a\right)<0}$ ， ${\displaystyle f\left(b\right)>0}$ の場合

• 図3　解が ${\displaystyle x_1}$ の1つ

• 図4　解が ${\displaystyle x_1}$ ， ${\displaystyle x_2}$ ， ${\displaystyle x_3}$ の3つ

　

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最終更新日： 2025年4月25日