原点を中としてにグラフを拡大移動した関数

関数${\displaystyle y=f\left(x\right)}$ のグラフを原点を中心として $x$  軸方向に $c$  倍 ， $y$  軸方向に $d$  倍(拡大移動) したグラフを表す関数は

${\displaystyle \frac{y}{d}=f\left(\frac{x}{c}\right)}$ 　･･････(1)

となる．

ポイント：原点を中心として$x$ 軸方向に$c$ 倍 ，$y$ 軸方向に$d$ 倍 した関数とは元の関数の$x$ を${\displaystyle \frac{x}{c}}$ に，$y$ を ${\displaystyle \frac{y}{d}}$ に書き換えたものになる．

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■式の導出

グラフの拡大の考え方を具体的に説明する．

まず

$y=x$　･･････(2)  

の直線のグラフについて考える． 

●原点を中心として$x$ 軸方向に拡大したグラフを表す関数

${\displaystyle y=x}$ のグラフを，原点を中心として$x$ 軸方向に3倍したグラフを表す関数を求める． 

原点を中心として$x$ 軸方向に3倍とは， $x$ 座標の値を3倍にすることである． ${\displaystyle y=x}$上の点$\text{P}$がこの拡大変換により移動した先を点$\text{Q}$とし，点$\text{P}$，$\text{Q}$の座標をそれぞれ${\displaystyle \left(r,s\right)}$ ，$\left(x,y\right)$ とする．点$\text{Q}$の$x$ 座標の値は点$\text{P}$の$x$ 座標の値$r$ を3倍したものとなり，点$\text{Q}$の$y$ 座標の値は点$\text{P}$の$y$ 座標の値$s$ のままである．すなわち

${\displaystyle \{\begin{array}{l}x=3r\\ y=s\end{array}\to \left(x,y\right)=\left(3r,s\right)}$ 　･･････(3)  

の関係がある．これは点$\text{Q}$を点$\text{P}$の座標の値を用いて表しているが，逆に点$\text{P}$の座標を，点$\text{Q}$の座標の値$x$ ，$y$ を使って表すと

${\displaystyle \{\begin{array}{l}r=\frac{x}{3}\\ s=y\end{array}\to \left(r,s\right)=\left(\frac{x}{3},y\right)}$ 　･･････(4)   

となる．点$\text{P}$は${\displaystyle y=x}$ 上の点であるので

${\displaystyle r=s}$　･･････(5)     

の関係がある．(5)の$r$ と$s$に(4)の${\displaystyle r=\frac{x}{3}}$ ，${\displaystyle s=y}$  の関係を代入すると

${\displaystyle y=\frac{x}{3}}$ 　･･････(6)  

となる．(6)は$x$ と$y$ の関係を表している．すなわち，この(6)が(2)の${\displaystyle y=x}$ のグラフを原点中心として$x$ 軸方向に3倍したグラフを表す関数である．  

ポイント：原点を中心に$x$ 軸方向に3倍した関数とは元の関数の$x$ を${\displaystyle \frac{x}{3}}$ に書き換えたものになる．

●原点を中心として$y$ 軸方向に拡大したグラフを表す関数

${\displaystyle y=x}$  のグラフを，原点を中心として$y$ 軸方向に3倍したグラフを表す関数を求める． 

　原点を中心として$y$ 軸方向に3倍とは， $y$ 座標の値を3倍にすることである． ${\displaystyle y=x}$上の点$\text{P}$がこの拡大変換により移動した先を点$\text{Q}$とし，点$\text{P}$，$\text{Q}$の座標をそれぞれ${\displaystyle \left(r,s\right)}$ ，$\left(x,y\right)$ とする．点$\text{Q}$の$x$ 座標の値は点$\text{P}$の$x$ 座標の値$r$ のままであり，点$\text{Q}$の$y$ 座標の値は点$\text{P}$の$y$ 座標の値$s$ を3倍したものである．すなわち

${\displaystyle \{\begin{array}{l}x=r\\ y=3s\end{array}\to \left(x,y\right)=\left(r,3s\right)}$ 　･･････(7)  

の関係がある．これは点$\text{Q}$を点$\text{P}$の座標の値を用いて表しているが，逆に点$\text{P}$の座標を，点$\text{Q}$の座標の値$x$ ，$y$ を使って表すと

${\displaystyle \{\begin{array}{l}r=x\\ s=\frac{y}{3}\end{array}\to \left(r,s\right)=\left(x,\frac{y}{3}\right)}$ 　･･････(8)   

となる．点$\text{P}$は${\displaystyle y=x}$ 上の点であるので

${\displaystyle r=s}$　･･････(5)     

の関係がある．(5)の$r$ と$s$に(4)の${\displaystyle r=x}$ ，${\displaystyle s=\frac{y}{3}}$ の関係を代入すると

${\displaystyle \frac{y}{3}=x}$ 　･･････(9)  

となる．(9)は$x$ と$y$の関係を表している．すなわち，この(9)が(2)の${\displaystyle y=x}$ のグラフを原点を中心として$y$ 軸方向に3倍したグラフを表す関数である．  

ポイント：原点を中心に$y$ 軸方向に3倍した関数とは元の関数の$y$ を${\displaystyle \frac{y}{3}}$ に書き換えたものになる．

以上の基本的な考え方を基にして

●$x$ 軸方向 ，$y$軸方向の拡大を組み合わせたグラフの関

${\displaystyle y=f\left(x\right)}$ のグラフを原点を中心として$x$ 軸方向に$c$倍 ，$y$軸方向に$d$倍 したグラフを表す関数を求める． 

${\displaystyle y=f\left(x\right)}$ 上の点 Pがこの拡大変換により移動した先を点$\text{Q}$とし，点$\text{P}$，$\text{Q}$の座標をそれぞれ${\displaystyle \left(r,s\right)}$ ，$\left(x,y\right)$ とする．点$\text{Q}$の$x$ 座標の値は点$\text{P}$の$x$ 座標の値$r$を$c$ 倍したものとなり，点$\text{Q}$の$y$ 座標の値は点$\text{P}$の$y$ 座標の値$s$ を$d$ 倍したものである．すなわち

${\displaystyle \{\begin{array}{l}x=cr\\ y=ds\end{array}\to \left(x,y\right)=\left(cr,ds\right)}$ 　･･････(10)  

の関係がある．これは点$\text{Q}$を点$\text{P}$の座標の値を用いて表しているが，逆に点$\text{P}$の座標を，点$\text{Q}$の座標の値$x$ ，$y$ を使って表すと

${\displaystyle \{\begin{array}{l}r=\frac{x}{c}\\ s=\frac{y}{d}\end{array}\to \left(r,s\right)=\left(\frac{x}{c},\frac{y}{d}\right)}$ 　･･････(11)   

となる．点$\text{P}$は${\displaystyle y=f\left(x\right)}$ 上の点であるので

${\displaystyle s=f\left(r\right)}$ 　･･････(12)     

の関係がある．(12)の$r$ ，$s$ に(11)の${\displaystyle r=\frac{x}{c}}$ ，${\displaystyle s=\frac{y}{d}}$ の関係を代入すると

${\displaystyle \frac{y}{d}=f\left(\frac{x}{c}\right)}$ 　･･････(1)  

となる．(1)は$x$ と$y$ の関係を表している．すなわち，この(1)が$y=f\left(x\right)$ のグラフを原点を中心として$x$ 軸方向に$c$ 倍 ，$y$ 軸方向に$d$ 倍 したグラフを表す関数である．  

 

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最終更新日 2024年5月17日