離心率 (eccentricity)

式(5)より

${\displaystyle (1-{\epsilon }^2){(x-\frac{h{\epsilon }^2}{1-{\epsilon }^2})}^2+y^2-\frac{h^2{\epsilon }^2}{1-{\epsilon }^2}=0}$

${\displaystyle \iff }$    ${\displaystyle \frac{{(x-\frac{h{\epsilon }^2}{1-{\epsilon }^2})}^2}{{\left(\frac{h\epsilon }{1-{\epsilon }^2}\right)}^2}+\frac{y^2}{{\left(\frac{h\epsilon }{\sqrt{1-{\epsilon }^2}}\right)}^2}=1}$     ······ (6)

のように中心 ${\displaystyle (\frac{h{\epsilon }^2}{1-{\epsilon }^2},0)}$ の楕円の方程式として表せるので，軌道長半径 ${\displaystyle \alpha }$ と軌道短半径 ${\displaystyle \beta }$ は

${\displaystyle \alpha =\frac{h\epsilon }{1-{\epsilon }^2}}$  ,    ${\displaystyle \beta =\frac{h\epsilon }{\sqrt{1-{\epsilon }^2}}}$     ······ (7)

となる．上の2式から ${\displaystyle h}$ を消去すると

${\displaystyle \frac{\beta }{\alpha }=\sqrt{1-{\epsilon }^2}}$    ${\displaystyle \iff }$    ${\displaystyle \epsilon =\frac{\sqrt{{\alpha }^2-{\beta }^2}}{\alpha }}$

となり，式(2)を得る．

式(5)より

${\displaystyle y^2=2h(x+\frac{h}{2})}$     ······ (8)

のように頂点 ${\displaystyle (-h/2,0)}$ の放物線として表せる．

式(5)より

${\displaystyle ({\epsilon }^2-1){(x+\frac{h{\epsilon }^2}{{\epsilon }^2-1})}^2-y^2-\frac{h^2{\epsilon }^2}{{\epsilon }^2-1}=0}$

${\displaystyle \iff }$    ${\displaystyle \frac{{(x+\frac{h{\epsilon }^2}{{\epsilon }^2-1})}^2}{{\left(\frac{h\epsilon }{{\epsilon }^2-1}\right)}^2}-\frac{y^2}{{\left(\frac{h\epsilon }{\sqrt{{\epsilon }^2-1}}\right)}^2}=1}$     ······ (9)

のように中心 ${\displaystyle (-\frac{h{\epsilon }^2}{{\epsilon }^2-1},0)}$ の双曲線の方程式として表せるので，軌道長半径 ${\displaystyle \alpha }$ と軌道短半径 ${\displaystyle \beta }$ は

${\displaystyle \alpha =\frac{h\epsilon }{{\epsilon }^2-1}}$  ,    ${\displaystyle \beta =\frac{h\epsilon }{\sqrt{{\epsilon }^2-1}}}$     ······ (10)

となる．上の2式から ${\displaystyle h}$ を消去すると

${\displaystyle \frac{\beta }{\alpha }=\sqrt{{\epsilon }^2-1}}$    ${\displaystyle \iff }$    ${\displaystyle \epsilon =\frac{\sqrt{{\alpha }^2+{\beta }^2}}{\alpha }}$

となり，式(3)を得る．