曲率半径 (curvature and radius of curvature)

曲率 (curvature) は，曲線上のある点におけるその曲線の曲がり具合を示す指標であり，その曲率の逆数が 曲率半径 (radius of curvature) を表す．曲線上の任意の点付近の曲線の微小部分は，その点での曲率半径を半径とする円（曲率円(curvature circle)という）で近似できる．曲率半径が大きいと曲がり具合が緩く，曲率半径が小さいと曲がり具合がきつくなる．したがって，曲がり具合がきついほど曲率は大きくなる．

■ 曲率半径の定義

xy 平面で定義された曲線 y=f(x) 上の点 P ( x0  ,  y0 ) から曲線に沿って Δs だけ変位した点を Q とする．この Δs 部分を円弧とみなし，その円の中心を点 C ，角PCQを Δα とすると，この円の半径は

R= | Δs Δα |

である（絶対値をとっているのは角 Δα が時計回りの場合，負の値となるからである）．ここで，極限 Δs→0 をとると，点 P における曲率半径

R= lim Δs→0 | Δs Δα | = | ds dα |

が求まる．点 P における曲率 κ は曲率半径 R の逆数なので次式となる．

κ= 1R = | dα ds |

ただし，絶対値をとらずに曲率を定義する場合もあり（符号付き曲率 (signed curvature) ），曲率の値は正にも負にもなる．この場合，その符号は微小角度 dα の向きを表し，正のとき反時計回りの向き，負のとき時計回りの向きを示す．

■ 曲線 y=f(x) の曲率半径

図に示すように，点 P での接線と x 軸とのなす角を α とすると，点 Q での接線と x 軸とのなす角は α+Δα となるので，角PCQは点 P から点 Q の接線の角度の増分に対応する．点 P での接線の傾きは

tanα= dy dx

なので，

(tanα )′ dα= ( dy dx ) ′ dx     ⇒     dα cos2 α = d2y dx2 dx     ⇒     dα= cos2α d2y dx2 dx = 1 1+tan2α d2y dx2 dx

となり，最終的に

dα= d2y dx2 1+ ( dydx ) 2 dx

を得る．また，

ds= (dx)2 + (dy)2 = 1+ ( dydx ) 2 dx

であるので，曲率半径 R は x の関数として

R(x)= | ds dα | = | 1+ ( dy dx ) 2 ⋅ 1+ ( dy dx ) 2 d2y dx2 | = { 1+ ( dydx ) 2 } 32 | d2y dx2 |

と求まる．点 P では x= x0 なので，点 P における曲率半径は R(x0) である．

また，曲率中心 (center of curvature)（点 P 付近の曲線を近似する円の中心）C の座標 ( cx , cy ) は次式で求まる．

( cx  ,  cy ) = ( x0  ,  y0 ) + ds dα ( − dy ds  ,  dx ds ) =( x0  ,  y0 ) + ( − dy dα  ,  dx dα ) =( x0  ,  y0 ) + 1+ ( dydx ) 2 d2y dx2 ( − dydx  ,  1 )

■ パラメータ表示された曲線 x=x(t) , y=y(t) の曲率半径(導出)

■ 陰関数表示された曲線 F(x,y) =0 の曲率半径(導出)

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